Замкнутая ломаная

[Clayton]

Какое максимально количество самопересечений может иметь замкнутая $n$-звенная ломаная?

(Оффтоп)

Изначально задача была для 7-ми звеньев.

[venco]

А в чём сложность? Вроде всё просто, и ответ тривиальный.

[Clayton]

Можете привести решение?Насколько знаю,задача не такая уж и тривиальная,по крайней мере когда-то была и в задачнике кванта и во многих олимпиадах.

[venco]

Сколько максимально сегментов может пересечь конечный сегмент?
А средний?
Можно ли сделать так, что каждый сегмент пересекает соответствующее максимальное количество сегментов?
Сколько при этом получится пересечений?

-- Вт июн 12, 2012 16:45:07 --

Прошу прощения, не заметил слова "замкнутая". Всё что я сказал выше можно распространить на замкнутую ломаную с нечётным количеством звеньев. Над чётным случаем надо ещё подумать.

[Clayton]

На любом сегменте не более $n-3$ точек пересечения,ну и т.к. всего сегментов $n$,то максимальное количество пересечений -- $\frac { n(n-3) }{ 2 } $ (каждое пересечение мы считали два раза)

Да,что делать с четным пока не ясно.

Ну судя по 2-х,4-х,6-ти и 8-ми угольникам формула такая $\frac { n(n-4) }{ 2 } +1$ больше вроде не получилось(хотя на счет 8-ми угольника не уверен.)