Множество, содержащее пустое множество

[Asker Tasker]

Согласно одной из аксиом ZFC существует такое множество, что ни один из рассматриваемых объектов этому множеству не принадлежит. То есть в этом множестве нет элементов, оно пусто. Мы его так и называем - "пустое множество". И вроде бы всё понятно.

Но в одном из способов определения натуральных чисел встречаем такие записи:
$0 = \varnothing$
1 = {$ \varnothing $}

Если я правильно понял идею, то мы соотносим натуральные числа и мощности соответствующих множеств, то есть в пустом множестве элементов нет, то бишь их ноль, а во множестве {$ \varnothing$}, выходит, есть один элемент.

Но это странным кажется... Пустое множество элементов не содержит, а множество, содержащее пустое множество, пустым не является. Почему так?

[Nemiroff]

Э-э-э, ну потому что.
Вы говорите, что пустое множество таково, что ни один из рассматриваемых объектов ему не принадлежит. А множеству {$ \varnothing$} принадлежит некоторый элемент.

Не знаю, в пустом пакете ничего нет. А в пакете, в котором внутри лежит только пустой пакет, в нем что-то ведь есть.

[Asker Tasker]

То есть мы разделяем понятия пустого множества как такового и пустого множества как элемента другого множества?

[apriv]

Asker Tasker в сообщении #584083 писал(а):

То есть мы разделяем понятия пустого множества как такового и пустого множества как элемента другого множества?

Нет, отчего же. Пустой пакет он и как таковой пустой, и будучи вложенным в другой пакет, остается пустым, ничуть не хуже.

[Asker Tasker]

Ничуть не хуже. Но теперь мы можем сказать, что второй пакет (содержащий пустой пакет) не пуст или не можем?

[apriv]

Asker Tasker в сообщении #584121 писал(а):

Ничуть не хуже. Но теперь мы можем сказать, что второй пакет (содержащий пустой пакет) не пуст или не можем?

С чего бы это он пуст, если в нем лежит первый пакет?

[Nemiroff]

Asker Tasker, сколько по-вашему элементов в таком множестве: $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$?

[Asker Tasker]

Два.
А во множестве, содержащем пустое множество, один. Разобрался.
Всем спасибо.