trigonometric equation

[Keter]

$$\frac{2}{\pi} \sin x + \cos 19 \pi = \cos x$$

$$(\cos x -1) \Big( \sin x - \frac{1}{2} \cos 2x -1 \Big) = \sin^2 x$$

1) $\frac{2}{\pi} \sin x + \cos 19 \pi = \cos x$

$$\frac{2}{\pi} \sin x - \cos x -1 = 0$

Далее пробовал: делить на косинус, вспомогательный угол, косинус представлял через тангенс под корнем. Ничего не помогло.

2) $(\cos x -1) \Big( \sin x - \frac{1}{2} \cos 2x -1 \Big) = \sin^2 x$

$-(1 - \cos x) \Big( \sin x - \frac{1}{2} \cos 2x -1 \Big) = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$

Если $\cos x = 1$, то $x=2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Если $\cos x \ne 1$, то $-\Big( \sin x - \frac{1}{2} \cos 2x -1 \Big) = 1 + \cos x$

$\sin x + \cos x = \frac{1}{2} \cos 2x$

Здесь вроде получилось:

$\sin x + \cos x = \frac{1}{2} (\cos^2 x - \sin^2 x)$

$\frac{1}{2} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - (\sin x + \cos x) = 0$

$(\sin x + \cos x) \Big( \frac{1}{2} (\cos x - \sin x)-1 \Big) = 0$

$\sqrt2 \sin (\frac{\pi}{4} + x) \Big( -\frac{\sqrt2}{2} \sin (\frac{\pi}{4} -x) - 1 \Big) = 0$

$\sin (\frac{\pi}{4} + x) = 0$ или $\sin (\frac{\pi}{4} - x) = -\sqrt2 >1$

$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) Ответ: $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in \mathbb{Z}; x=2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$

[Sonic86]

1) Уравнения $A\cos x + B\sin x = C$ решаются в общем виде 3-я способами - решайте сразу в общем виде - очень хорошо на мозг ляжет.
2) Похоже на правду.

[Praded]

1) Перейти к половинному углу, включая единицу (применить основное тригонометрическое тождество).

[Keter]

Praded, для удобства $\frac{x}{2}=y$, тогда

$\cos y = 0$ или $\frac{4}{\pi} \sin y - 2 \cos y = 0$.

Ну первое понятно, а второе по вспомогательному углу так?

[Praded]

Во втором поделить на $\cos y$ .

[Keter]

Praded, извиняюсь за то, что поздно пишу, спасибо за помощь. Поделил, через тангенс решил.