Выбор контура для комплексного интеграла

[alexkon]

дан интеграл $\int \frac{\sin x dx}{x^2(x^2+2ix+1)}$ . Синус разбивается на 2 экспоненты, и далее возникают проблемы при выборе контура: при контуре, описывающем верхнюю полуокружность, нельзя пускать по ней (полуокружности) $e^{-ix}$, при замыкании на круг (для плюс и минус экспоненты) в нуле расходимость. Подскажите, какой контур нужно выбрать

[Sonic86]

Интегрирование по какой области? По $\mathbb{R}$? Если да, то там вроде обычный контур - верхняя полуокружность, не проходящая через полюсы (и вообще под лемму Жордана не сразу не подпадает? надо посмотреть...)

[ex-math]

Я бы рассмотрел два интеграла:

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iz}-1}{z^2(z^2+2iz+1)}dz $$

и

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iz}-1}{z^2(z^2-2iz+1)}dz. $$

Деленная на $2i$ разность первого и сопряженного ко второму даст искомый интеграл. Контур для обоих один и тот же -- лежащие в верхней полуплоскости полуокружности радиусов $r$ и $R$ (первый стремится к нулю, второй -- к бесконечности), и соединяющие концы дуг отрезки вещественной оси. Добавлять $-1$ нужно для того, чтобы в нуле сохранить простой полюс.

[alexkon]

ex-math
спасибо большое

[ewert]

Так ведь вещественная же часть исходного интеграла откровенно равна нулю, просто из-за нечётности. А в мнимой части один $z$ в знаменателе сокращается, после чего уже никто не в силах будет запретить применение леммы Жордана в совершенно стандартном режиме. Правда, после перехода к мнимой части комплексный из полюсов окажется уже двукратным, что немного неприятно; но и ни разу не проблема.

[ex-math]

ewert
Можно и так. Полюсы, кстати, при этом останутся простыми, просто появится еще один, от сопряженного знаменателя.
Лемма Жордана здесь совсем ни к чему, она бывает нужна только если подынтегральная функция недостаточно быстро убывает.