Я бы рассмотрел два интеграла:

и

Деленная на

разность первого и сопряженного ко второму даст искомый интеграл. Контур для обоих один и тот же -- лежащие в верхней полуплоскости полуокружности радиусов

и

(первый стремится к нулю, второй -- к бесконечности), и соединяющие концы дуг отрезки вещественной оси. Добавлять

нужно для того, чтобы в нуле сохранить простой полюс.