Несколько неравенств.

[iknow]

Немного неравенств, составленных мною... Они несложные...
Неравенство 1. $a, b, c>0$, доказать:
$3a^3+3b^3+3c^3\geq(ab+ac+bc)(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})$.
Неравентво 2. $a, b, c>0$, доказать:
$(a^3+b^3+abc)(a+b+c)\geq3abc(ab+ac+bc)$.
Неравенство 3. Доказать неравенство при $a, b, c>0$, $a+b+c=1$:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{3abc}\geq3$
Неравенство 4. $a,b,c>0$. Доказать справедливость неравенства:
$\frac{(a^5+b^5+c^5)(a+b+c)}{a^3+b^3+c^3}\geq3$, если известно, что $abc=1$.
Неравенство 5. Числа $a$,$b$ и $c$ такие, что $abc=1$. Доказать:
$(\sqrt{a^4+b^4+c^4})^3\geq3\sqrt{2}$.
Неравенство 6. $x, y, z>1$. Доказать неравенство:
$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{y-1}}+\frac{1}{\sqrt{z-1}})\geq36$.

[Clayton]

Первое-через неравенство Мюрхеда.Третье после деления левой части на $\frac { 1 }{ a+b+c } $ тоже сводится к неравенству Мюрхеда.В 6,очевидно, надо сделать замену $a=x-1$,$b=y-1$,$c=z-1$

(Оффтоп)

Первое что пришло в голову,над остальным подумаю попозже

[Tanechka]

Неравенство 2: Оно неверно: подставьте везде 0.1
Неравенство 3: Два раза Коши
Неравенство 5: Оно вообще глупое... и справа под корнем тройка должна стоять.
Неравенство 6: Это вообще неверное неравенство (подставьте $x=y=z=1.1$)

[Clayton]

Да,по поводу верности второго у меня тоже возникли подозрения(слева 4 степень,а справа 5).
В пятом,как уже написали,усиливаем до тройки,домножаем на $abc$ и получаем то же неравенство Мюрхеда(ну или Коши)

Ну и в 4 неравенстве домножаем правую часть на $abc$,раскрываем скобки и применяем опять неравенство Мюрхеда

[Tanechka]

Я ненавистница Мюрхеда . А первое и четвёртое неравенство тоже несложные)

[iknow]

Clayton
Я сам решал их базовыми методами
И, честно говоря, не разбираюсь в Мюрхеде
Не могли бы Вы, дать ссылку на статью (желательно на русском) с теорией и нормальной практикой по этой теме?
Спасибо!
Tanechka
Насчет второго несогласен... Не совсем.... Там $a,b,c>0$
А по шестому могу свое решение написать... Может поясните что не так....

[arqady]

iknow в сообщении #583956 писал(а):

А по шестому могу свое решение написать... Может поясните что не так....

Попробуйте $x=y=z=\frac{5}{4}$.

Имеется вот такое симпатичное неоднородное неравенство:
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\right)\geq\frac{9}{1+abc}$$

[Clayton]

iknow,была статья в кванте,поищите.Там вроде все очень хорошо было разобрано,с диаграммами Юнга.

(Оффтоп)

Да и Мюрхед довольно полезен,как его можно не любить? Частенько,когда никакие идеи в голову не лезут,и заметно,что слева и справа одна и та же степень,то бывает достаточно просто раскрыть все скобки и применить неравенство Мюрхеда.

[arqady]

Clayton в сообщении #583998 писал(а):

Частенько,когда никакие идеи в голову не лезут,и заметно,что слева и справа одна и та же степень,то бывает достаточно просто раскрыть все скобки и применить неравенство Мюрхеда.

Если бы всё было хотя бы приблизительно так, как Вы описываете...
Вто сегодня придумалось:
Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ - положительны и $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Докажите, что:

$$(ab+ac+bc+ad+bd+cd)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}-1\right)\geq18$$

Какие скобки, какой тут Мюрхед или Лагранж?

[Clayton]

(Оффтоп)

Ну я же не говорил что это всегда прокатывает

[Tanechka]

iknow в сообщении #583956 писал(а):

Я сам решал их базовыми методами

И какие же методы вы называете "базовыми"?

iknow в сообщении #583956 писал(а):

Насчет второго несогласен... Не совсем.... Там $a,b,c>0$

$0.1>0$... да нет, не вижу противоречия...

iknow в сообщении #583956 писал(а):

А по шестому могу свое решение написать... Может поясните что не так....

Напишите, вроде тут никто не против.

Clayton в сообщении #583998 писал(а):

Да и Мюрхед довольно полезен,как его можно не любить? Частенько,когда никакие идеи в голову не лезут,и заметно,что слева и справа одна и та же степень,то бывает достаточно просто раскрыть все скобки и применить неравенство Мюрхеда.

Просто частенько, когда дети изучили Мюрхеда, у них моментально выветривается Коши... а по мне лучше уж Коши хорошо пользоваться...

[Clayton]

arqady,не могли бы Вы показать доказательства своих неравенств?Особенно первое,неоднородность просто убивает

[arqady]

Могу, конечно. Только пусть народ немного подумает.
Ровно через неделю покажу решение обеих задач. Кстати, первую не я придумал.

[arqady]

Имеется ешё вот такое усиление:

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\right)\geq\frac{9}{\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$$

[Clayton]

Фуух,ну первое вроде получилось :
Сначала докажем такое нер-во:
$\frac { 1 }{ x(y+1) } +\frac { 1 }{ y(z+1) } +\frac { 1 }{ z(x+1) } \ge \frac { 3 }{ 1+xyz } $
Домножив левую часть на $1+abc$ и раскрыв скобки получаем:
$\frac { 1 }{ x(y+1) } +\frac { 1 }{ y(z+1) } +\frac { 1 }{ z(x+1) } +\frac { yz }{ y+1 } +\frac { xz }{ z+1 } +\frac { xy }{ x+1 } \ge 3$
Применим такое неравенство(неравенство доказывается простым раскрытием скобок) к каждым двум слагаемым:
$\frac { 1 }{ x(y+1) } +\frac { xy }{ x+1 } \ge \frac { 1 }{ x+1 } +\frac { y }{ y+1 } $
Теперь разобьем по парам:
$\left( \frac { 1 }{ x+1 } +\frac { x }{ x+1 } \right) +\left( \frac { 1 }{ y+1 } +\frac { 1 }{ y } \right) +\left( \frac { 1 }{ z+1 } +\frac { z }{ z+1 } \right) =3$
Ну теперь в основном неравенстве раскроем все скобки.Предположим,что $z\ge y\ge x$,тогда $\frac { 1 }{ x } \ge \frac { 1 }{ y } \ge \frac { 1 }{ z } $.Тогда,из неравенства упорядоченных последовательностей следует,что $\frac { 1 }{ x(1+y) } +\frac { 1 }{ y(1+z) } +\frac { 1 }{ z(1+x) } \le \frac { 1 }{ x(1+z) } +\frac { 1 }{ x(1+y) } +\frac { 1 }{ y(1+x) }$ и $\frac { 1 }{ x(1+y) } +\frac { 1 }{ y(1+z) } +\frac { 1 }{ z(1+x) } \le \frac { 1 }{ x(1+x) } +\frac { 1 }{ y(1+y) } +\frac { 1 }{ z(1+z) } $.Тогда применяя эти неравенства и самое первое неравенство,получаем:$\left( \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ z } \right) \left( \frac { 1 }{ 1+x } +\frac { 1 }{ y+1 } +\frac { 1 }{ z+1 } \right) \ge 3\left( \frac { 1 }{ x(1+y) } +\frac { 1 }{ y(1+z) } +\frac { 1 }{ z(1+x) } \right) \ge \frac { 9 }{ 1+xyz } $,q.e.d.

(Оффтоп)

arqady,не могли бы Вы подсказать книги/статьи где описывается метод доказательства неравенств с помощью производных(я знаю только статью Ярского из "Кванта"),метода множителей Лагранжа и прочих"некрасивых"методов.Буду очень благодарен.