Некорректно поставленная задача + sparse solutions

[Cubic]

Здравствуйте.

Имеется практическая задача, описываемая системой
\begin{equation} \label{eq1} Y = \textbf{A} X \end{equation}

где требуются определить неизвестную матрицу $X\in \mathbb{C}^{N\times P}$. Известны матрица измерений $Y\in \mathbb{C}^{M\times P}$ и матрица измерительной системы $\textbf{A} \in \mathbb{C}^{M\times N}$, $M < N$. Матрица $\textbf{A}$ образована из матрицы дискретного преобразования Фурье путем выбора случайных $M$ строк из $N$ возможных. Система (1) называется multiple-measurement vectors system, так как каждому из исходных стоблцов матрицы $X$ соответствует столбец измерений из матрицы $Y$.

Искомая матрица $X$ может иметь две структуры:

Структура 1
Полностью ненулевые и полностью нулевые строки
\label{str1} X = \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \ldots & x_{1,L} \\ 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0\\ x_{2,1} & x_{2,2} & \ldots & x_{2,L} \\ 0 & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{k,1} & x_{k,2} & \ldots & x_{k,L} \\ 0 & 0 & \ldots & 0\\ \end{pmatrix}
где число ненулевых строк матрицы $X$ обозначим через $k$. Положение ненулевых строк заранее не известно.

Существуют практические алгоритмы нахождения решений данной системы при условии , что $M> 2\cdot k$, т.е. число измерений должно превышать число ненулевых строк минимум в 2 раза. Примерами таких алгоритмов являются: Orthogonal Matching Pursuit , MUltiple Signal Classification, Basis Pursuit Denoising и тд.

Структура 2
Частично ненулевые и частично нулевые строки, при сохранении общего числа ненулевых элементов матрицы $X$

\label{str2} X = \begin{pmatrix} 0 & x_{1,1}& x_{1,2} & \ldots & x_{1,L-1} \\ x_{1,L} & 0& 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 &0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & x_{2,1}& \ldots & x_{2,L-2} \\ x_{2,L-1} & x_{2,L}& 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & x_{k,1}& x_{k,2} & \ldots & x_{k,L-1} \\ x_{k,L} & 0& 0 & \ldots & 0\\ \end{pmatrix}
ненулевые строки матрицы $X$ из предыдущей структуры как бы сдвигаются и накладываются на следующие строки (шаг сдвига для каждой ненулевой строки может быть произвольным). В этом случае, число ненулевых строк становится равным $2k$. Положение ненулевых строк заранее не известно. По аналогии с первой структурой $X$, существующие алгоритмы позволяют находить решение \eqref{mainMMV} при $M > 2\cdot 2k$, т.е. число необходимых измерений увеличивается вдвое, при сохранении общего числа ненулевых элементов $X$. Это представляется неоптимальным.

Вопрос: Как сделать так, чтобы решения структуры 2 можно было бы найти при тех же условиях, что и структуры 1, то есть при том же $M$. Понятно, что надо что-то поменять в алгоритмах решений, только я вот не совсем понимаю что. Может регуляризацию какую надо применить, чтобы "связать" соседние строки, но в голову ничего не приходит.

Заранее благодарю за помощь

[Cubic]

Ну же, господа математики, помогите справиться с задачей!