Парадоксальный предел

[Dave]

Докажите, что при любом $y \in (0,1)$:

$$\lim_{x \to 1+} \; {\sum_{n=0}^{\infty} \frac {y^n} {\prod\limits_{i=1}^n (1-x^i)}} = 0.$$

[RIP]

Достаточно переписать в виде бесконечного произведения (это одна из q-экспонент)

$$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac y{x^n}\right),$$

и утверждение становится очевидным.

[RIP]

Собственно, утверждение более-менее очевидно при $y\leqslant2$. Предлагаю доказать (или опровергнуть, если я наврал в выкладках), что существует $y_0=12.59517\ldots$ такое, что предел равен 0 при $0<y<y_0$ и не существует при $y\geqslant y_0$.

[Dave]

Это $y_0$ находится из уравнения

$$\int\limits_{0}^{y_0} \frac {\ln|t-1|} t \, dt=0.$$

Если $f(x,y) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {y^n} {\prod\limits_{i=1}^n (1-x^i)},$ то при $y \in (0,y_0)$ действительно $\lim\limits_{x \to 1+} \; f(x,y)=0$. При $y>y_0$: $\lim\limits_{x \to 1+} \; \frac 1 {f(x,y)}=0$, а при $y=y_0$ не знаю, нужен более тонкий анализ.
Но вообще-то моё решение исходной задачи, когда $y \in (0,1)$, основывалось не на возможности представить $f(x,y)$ в виде произведения, а на том факте, что $\forall x \in (0,+\infty) \setminus \{1\}, y \in (0,1)$:

$$f(x,y) \, f\left(\frac 1 x,y\right)=\frac 1 {1-y}.$$

[RIP]

Dave в сообщении #583883 писал(а):

При $y>y_0$: $\lim\limits_{x \to 1+} \; \frac 1 {f(x,y)}=0$

Это не так, поскольку из представления в виде произведения следует, что $f(x,y)=0$ при $x=y^{1/n}\to1+$. Но если отношение $\dfrac{\log y}{\log x}$ "отделено" от целых чисел, то это верно. Мои выкладки показывают, что при $y=y_0$ и "хороших" $x$ функция отделена от 0, но тут я не уверен, поскольку в промежуточных выкладках фигурировал $\log\log x$, который в итоге мистическим образом сократился, а пересчитывать было лень.

[Dave]

Да, не учёл, что $t=1$ - особая точка подынтегральной функции. "Отделять" $x$ от $\sqrt[n] y$ можно, но, на мой взгляд, нелогично. Получается что предел или равен $0$ или вообще не существует, даже бесконечный по модулю.

[RIP]

Dave в сообщении #584057 писал(а):

"Отделять" $x$ от $\sqrt[n] y$ можно, но, на мой взгляд, нелогично. Получается что предел или равен $0$ или вообще не существует, даже бесконечный по модулю.

Собственно, я для доква отсутствия предела и отделял: есть очевидная подпоследовательность, по которой предел равен 0, так что достаточно найти подпоследовательность, по которой функция отделена от 0.