Heights and equal angles

[ins-]

In the acute-angled triangle $ABC$ - $A_1, B_1, C_1$ are the feets of the altitudes from the vertices $A, B, C$, respectively. Through $A_1$ and $B_1$ are drawn lines, perpendicular to $AB$, intersecting $AA_1$ and $BB_1$ in the points $B_2$ and $A_2$, respectively. Prove that $\angle AC_1B_2 = \angle BC_1A_2$.

[Dave]

Пусть $A_3$ и $B_3$ - точки пересечения соответственно прямых $A_1A_2$ и $B_1B_2$ с прямой $AB$, $H$ - ортоцентр $\triangle ABC$. Ввиду того, что четырёхугольники $AB_1HC_1$ и $BA_1HC_1$ - вписанные, $\angle B_3C_1B_1=\angle AC_1B_1=\angle AHB_1=\angle BHA_1=\angle BC_1A_1=\angle A_3C_1A_1$. Значит $\triangle B_3C_1B_1 \sim \triangle A_3C_1A_1$. Также, ввиду того, что $B_1B_2 \parallel A_1A_2$, $\triangle B_1HB_2 \sim \triangle A_2HA_1$. Отсюда получаем, что $\frac {B_2B_3} {B_3C_1}=\frac {B_1B_3-B_1B_2} {B_3C_1}=\frac {B_1B_3} {B_3C_1} - \frac {B_1B_2} {B_3C_1}=\frac {A_1A_3} {A_3C_1} - \frac {A_1A_2} {A_3C_1}=\frac {A_1A_3-A_1A_2} {A_3C_1}=\frac {A_2A_3} {A_3C_1}$ и $\triangle B_2B_3C_1 \sim \triangle A_2A_3C_1$.

[ins-]

Thank you for the elegant and beautiful solution. I hope you liked the problem.