Положения равновесия

[Stotch]

Помогите пожалуйста,запоролся на паре моментов,задание
Найти все положения равновесия,исследовать их тип,и нарисовать фазовый портрет
$x'=2xy$
$y'=1+y-x^2+y^2$
я правильно делаю?приравниваю к нулю $x'$ и $y'$. Вот я нашел точки $(x,y)$ это точки $(1,0), (-1,0)$
1)есть ли еще точки?при $x=0$ $y$ будет только комплексным,нужно ли мне их рассматривать?в чем отличие этого случая?
2)исследовать тип, т.е посмотреть будет ли устойчивы эти точки?
3)например рассмотрим точку $(1,0)$ я правильно понимаю надо сделать замену переменных как тут
http://edu-books.pp.ua/index.php/filipo ... 60/802-915
$x=x_1+1$
$y=y_1$
После подстановки я получил
$x'_1=2(1+x_1)y_1$
$y'_1=1+y_1-(1+x_1)^2+y^{2}_1$
Далее надо отбросить нелинейные члены?как это сделать в первом равенстве как избавиться от $x_1\cdot y_1$

[Yu_K]

Теперь разложение сделайте правых частей в нуле (ну или можно взять коэффициенты матрицы Якоби) - получится линейная система в окрестности положения равновесия. Для нее решение простое - и схематично траектории можно сразу нарисоватьв окрестности положения равновесия .

А в целом поведение легко проанализировать, если нарисовать области положительных и отрицательных направлений траекторий - границы этих областей определяются двумя линиями

$$2xy=0$$

$$ 1+y-x^2+y^2=0$$

на самих этих линиях траектории имеют нулевой и бесконечный наклон.

[Stotch]

Я не понял на какой из трех вопросов вы ответили?До сих пор не понятно как отбросить нелинейные члены в последней системе с $x_1$ $y_1$???

[Stotch]

Кто-нибудь поможет???

[Yu_K]

$F(x+\delta x,y+\delta y )\sim F(x,y)+F(x,y)_x \delta x +F(x,y)_y \delta y$ - вот пример разложения функции двух переменных.

На первый вопрос Вы сами ответите, когда нарисуете две линии, про которые было написано выше.
На второй вопрос тоже сами ответите - когда найдете либо тип траекторий в окрестности особой точки, либо найдете собственные числа матрицы Якоби в особой точке.
На третий вопрос ответ кажется правильный (я не смотрел вашу ссылку) - дальше ищите разложение в новых переменных в точке (0,0).

Очень хорошо все описано у http://lib.mexmat.ru/books/5463 - погуглите.

[Stotch]

как отбросить нелинейные члены в последней системе???c $x_1$ и $y_1$???гд они умножаются

[Yu_K]

Stotch в сообщении #583020 писал(а):

как отбросить нелинейные члены в последней системе

Было так
$x'_1=2(1+x_1)y_1$
$y'_1=1+y_1-(1+x_1)^2+y^{2}_1$
- если надо отбросить - то будет так
$x'_1=2y_1$
$y'_1=1+y_1-(1+2x_1)$.

Но что Вы будете делать, если система будет с синусами, косинусами, экспонентами - как там будете избавляться от нелинейности - лучше бы сразу делать правильные разложения - но видимо такой цели нет - поэтому просто отбрасываем.