Теория множеств - помогите разобраться с доказательством.

[agehsbarg]

Читаю книгу Шеня.

Никак не могу понять последнюю часть доказательства Теоремы 15 (ссылка снизу).
Ту часть, где доказывают, что из принципа индукции следует существование минимального элемента во всяком непустом множестве. Не ясно, откуда берётся база этой индукции - у меня в голове пример - целые числа, вроде как частично (даже линейно) упорядоченное множество, а непустое подмножество без минимальных указать можно. Надеюсь, что вопрос понятен. Спасибо!

http://www.intuit.ru/department/ds/theorysets/8/

[apriv]

agehsbarg в сообщении #582081 писал(а):

Читаю книгу Шеня.

Никак не могу понять последнюю часть доказательства Теоремы 15 (ссылка снизу).
Ту часть, где доказывают, что из принципа индукции следует существование минимального элемента во всяком непустом множестве. Не ясно, откуда берётся база этой индукции - у меня в голове пример - целые числа, вроде как частично (даже линейно) упорядоченное множество, а непустое подмножество без минимальных указать можно. Надеюсь, что вопрос понятен. Спасибо!

Ну так для целых чисел и неверен принцип индукции. База в принципе индукции — это как раз когда $x$ является наименьшим элементом $X$: для всех $y<x$ тогда верно $A(y)$, поскольку множество таких $y$ вообще пусто.