Вычислить свертку(обобщенные функции)

[bars-mars]

Добрый день. Был бы очень благодарен, если помогли бы решить данный пример $\theta(x) * \theta(x) \cos(x)$

[Nimza]

А в чём именно у Вас трудности?

[bars-mars]

Nimza в сообщении #581831 писал(а):

А в чём именно у Вас трудности?

Трудности в недостаточном понимании материала. Очень мало примеров в инете, в которых пошагово объясняется решение.

[Nimza]

Запишите по определению что это такое.

[bars-mars]

Nimza в сообщении #581890 писал(а):

Запишите по определению что это такое.

$\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(y)*\theta(x-y)\cos(y)dy$

А дальше по какому принципу выбирать систему я незнаю?

[Nimza]

Какую систему? Посмотрите, когда функция Хевисайда обнуляется, а когда равна единице, и в соответствии с этим избавьтесь от функций Хевисайда под интегралом.

[bars-mars]

Nimza в сообщении #581894 писал(а):

Какую систему? Посмотрите, когда функция Хевисайда обнуляется, а когда равна единице, и в соответствии с этим избавьтесь от функций Хевисайда под интегралом.

Ссори я имел ввиду ф-ию Хевисайда. Вот именно с ней у меня и возникает проблема. Как выбирать границы интеграла и пр. Объясните пожалуйста.

[Nimza]

Ну вот взять например $\theta(y)$ под интегралом. При каких $y$ это ноль? Такие $y$ можно сразу убрать из множества, по которому ведётся интегрирование. На остальных $y$ это будет $1$. Аналогично со второй функцией Хевисайда.

[bars-mars]

Nimza в сообщении #581902 писал(а):

Ну вот взять например $\theta(y)$ под интегралом. При каких $y$ это ноль? Такие $y$ можно сразу убрать из множества, по которому ведётся интегрирование. На остальных $y$ это будет $1$. Аналогично со второй функцией Хевисайда.

Что то я не до конца понял. Приведу вам аналогичный пример, который решали на практических занятиях. $ \theta(x)\sin(x) * \theta(x-1) = \int_{-\infty}^{+\infty}\theta(y)\sin(y)*\theta(x-y-1)dy= \begin{cases} \int_{0}^{x-1} \sin(y)dy, & x\ge1 \\ 0, & x<1 \end{cases} = \begin{cases} -\cos(y)\Bigl|_0^{x-1}, & x\ge1 \\ 0, & x<1 \end{cases} = \begin{cases} -\cos(x-1) + 1, & x\ge1 \\ 0, & x<1 \end{cases} = \theta(x-1)(1-\cos(x-1)) $

Нужно что-то подобное для моего примера.

[Nimza]

Вы поняли как здесь получено второе равенство? При $y < 0$ будет $\theta(y) = 0$, а при $y > 0$ будет $\theta(y) = 1$. Поэтому

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(y) \sin(y) \theta(x-1-y) dy = \int\limits_{0}^{+\infty} \sin(y) \theta(x-y-1) dy $$

И дальше то же самое, но со второй функцией Хевисайда.