Функциональное уравнение y(x) = 2 y(a(x))

[don piano]

Здравствуйте. Пожалуйста, помогите найти непрерывные решения уравнения вида $y(x) = 2 y(a(x))$, где $a(x)$ - произвольная строго возрастающая гладкая функция, $a(x) < x, y(x)$ - неизвестная. Интересует как аналитическое решение, если оно существует, так и подходящие численные методы. На самом деле это не задание по учебе, поэтому я даже не знаю, в какую сторону копать - на EqWorld уравнений такого типа нет, а общих численных методов слишком много, и я еще не успел в них разобраться.

[mihiv]

Единственное решение:$y(x)\equiv 0$.Рассмотрите,например,$a(x)=kx,(k<1)$.

[don piano]

Прошу прощения, я неточно выразился. Нужен способ решения уравнений такого вида с какой-то определенной $a(x)$, а не решение, удовлетворяющее всем возможным $a(x)$. Например, если $a(x) = x/2, y(x) = c x.$

Я пока не нашел ничего лучше аппроксимации искомой функции линейной комбинацией $n$ функций, требующей нахождения $O(n^2)$ интегралов. Можно ли сделать это быстрее?

[svv]

Для примера mihiv
$y(x)=2^{-\dfrac{\ln x}{\ln k}}$
($x>0$)

[don piano]

svv, спасибо, но a(x) может быть и нелинейной, например многочленом третьей степени.

[Евгений Машеров]

А продифференцировать по х не поможет?

[don piano]

Евгений Машеров
Если просто продифференцировать, получится еще более сложное уравнение. Что это даст?

[svv]

don piano
Если бы было уравнение не такое, как у Вас, а чуть проще: $h(x)=h(a(x))+1$, Вы бы представляли, как выглядит решение?
Решений очень много. Выбираем $x_1$ и $x_0=a(x_1)$. Тогда $x_0<x_1$.
На отрезке $[x_0, x_1]$ берём в качестве $h(x)$ функцию:
-- непрерывную,
-- строго возрастающую,
-- удовлетворяющую условиям $h(x_0)=0, h(x_1)=1$,
а в остальном произвольную.
Затем продолжаем её за пределы $[x_0, x_1]$:
Вниз -- по формуле $h(a(x))=h(x)-1$
Вверх -- по формуле $h(a^{-1}(x))=h(x)+1$

Ну, а $y(x)=2^{h(x)}$.

[don piano]

svv
Да, действительно. Тогда нужно придумать какое-нибудь свойство, выделяющее единстенное решение из всего этого семейства, как в альтернативном определении гамма-функции: бесконечно много непрерывнах функций удовлетворяют $f(x) = x f(x-1), f(0)=1$, но логарифм только одной из них является выпуклой функцией.

Или вот еще что: пусть $a(0)=0, a'(0)<1$. Даже условие гладкости при $x>0$ не снимает неоднозначность. Однако стыки у функции $y(x)$ все же могут быть заметны, если взять производную достаточно большого порядка. В окрестности $x=0$ таких стыков бесконечно много, из-за чего у всех решений, кроме нужного, производные высших порядков не будут ограниченными.

Как-то так. Спасибо за дельное замечание, кажется, мне нужно получше разобраться в этом самому.