Смежные классы и сопряженные элементы

[NellyOhNell]

Есть такая задача: конечная группа $G$ порядка $n$, в ней - элемент $x$ порядка $m$. У этого элемента сопряженных - $k$ штук. Нужно доказать, что $n/m$ делится на $k$.

Звучит все просто, но решить не могу. Например, пыталась так.
все $k$ элементов, сопряженные с $x$, так же имеют порядок $m$:
$x = g_i\cdot a_i\cdot g^{-1}_i$, сл-но
$x^m = g_i\cdot a_i\cdot g^{-1}_i \cdot .. g_i\cdot a_i\cdot g^{-1}_i=g_i\cdot a^m_i\cdot g^{-1}_i=e$ , значит $a^m_i=e$.
И в общем, группа, порожденная $x$, пусть будет $H$, мощности $n$, - $\{e, x, x^2..x^{m-1}\}$. Берем смежные классы по эту группу, они будут вида $g\cdot H$... И вроде понятно (еще есть теорема Лагранжа), что количество смежных классов по эту группу будет $n/m$. И есть мысль, что среди этих смежных классов будет $k$ классов вида $a_i\cdot H$, для сопряженных с $x$ элементов $a_i$. И если как-то показать, что эти смежные классы будут подгруппой всех смежных классов, тогда порядок группы смежных классов $n/m$ будет делиться на порядок подгруппы $k$. Либо показать, что элементы этих классов, образованных сопряженными с $x$ элементами, образуют подгруппу в $G$, и тогда $n$ будет делиться на$ k\cdot m$, что в принципе дает то же самое. Но я не могу показать замкнутость. Скажите, так может как-то решиться? :( Мне советовали делать через нормализаторы, я пыталась, но не поняла, у меня только начался этот курс и я с трудом понимаю.. Пожалуйста, кто может, подскажите. Если несложно, подсказки побольше.

[lek]

NellyOhNell в сообщении #581482 писал(а):

Есть такая задача: конечная группа $G$ порядка n, в ней - элемент $x$ порядка $m$. У этого элемента сопряженных - $k$ штук. Нужно доказать, что $n/m$ делится на $k$.

Уже было. См. http://dxdy.ru/post579466.html?hilit=#p579466

[NellyOhNell]

Но там тоже советуют через нормализатор. И "см в любой книге по теории групп" тоже не помогло. Мне кажется, можно решить и таким способом. Неужели никто не поможет?

[lek]

Скачайте с http://bib.tiera.ru/ книгу "Основы теории групп" Каргаполова-Мерзлякова. Найдите там теорему 2.5.6 (стр. 34 в издании 1982 года) и будет вам счастье.

[NellyOhNell]

Я могу хотя бы уточнить, как мне это в терминах моей задачи объяснить?..
Я так поняла, $k $(число элементов $G$, сопряженных с $x$) равно индексу нормализатора $N(x)$ в $G$ (то есть количеству смежных классов в $G$ по нормализатору $x$). Доказывают они вроде через отображение множества сопряженных элементов на множество смежных классов.. верно? а почему индекс нормализатора равен $n/m$? точнее, почему мощность нормализатора -$ m$.

В чем смысл форума, если вместо того, чтобы объяснить хоть на каком-то уровне, вы предлагаете разбираться самим целиком... Я бы тогда сюда не писала.

-- 06.06.2012, 16:31 --

За ссылку, безусловно, спасибо.

[AV_77]

NellyOhNell в сообщении #581514 писал(а):

Доказывают они вроде через отображение множества сопряженных элементов на множество смежных классов.. верно? а почему индекс нормализатора равен ? точнее, почему мощность нормализатора -.

Порядок нормализатора может быть и больше $m$. Здесь же все просто, задача на теорему Лагранжа.
$G$ - группа, $H$ - подгруппа, порожденная $x$, $|H| = m$, $N(x)$ - нормализатор $x$ в $G$. Тогда $H$ - подгруппа в $N(x)$ и $[G : H] = [G : N(x)][N(x) : H]$.

[NellyOhNell]

AV_77 в сообщении #581580 писал(а):

NellyOhNell в сообщении #581514 писал(а):

Доказывают они вроде через отображение множества сопряженных элементов на множество смежных классов.. верно? а почему индекс нормализатора равен ? точнее, почему мощность нормализатора -.

Порядок нормализатора может быть и больше $m$. Здесь же все просто, задача на теорему Лагранжа.
$G$ - группа, $H$ - подгруппа, порожденная $x$, $|H| = m$, $N(x)$ - нормализатор $x$ в $G$. Тогда $H$ - подгруппа в $N(x)$ и $[G : H] = [G : N(x)][N(x) : H]$.

Спасибо огромное!