Найти окружности!

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте, уважаемые коллеги!

Несколько месяцев назад придумал задачу.

Условие: около квадрата $ABCD$ описана окружность с центром O), вне окружности взята точка E, из E проведены касательные прямые к окружности (точки касания F и G лежат внутри угла BOC), стороны квадрата AB и CD продолжены до пересечения с ними соответственно в точке K и в точке L, OF пересекает BC в точке M, OG- её же в точке N.
Доказать: KM и LN пересекаются на отрезке OE.

Я доказал, что KM и LN пересекаются на отрезке OE, не используя радикальный центр. Вот интересно теперь найти окружности, для которых точка пересечения этих прямых является радикальным центром.

Предлагаю выделить первую: описанную около четырёхугольника $OFEG$. Две других, очевидно, должны проходить через O и E, но при этом четыре их точки, отличные от O и E, должны лежать на одной окружности. Но как найти эти окружности, пока не соображу.

[Хорхе]

Там возможны много вариантов пересечения этих касательных со сторонами, но во всех из них это утверждение неверно.

-- Вт июн 05, 2012 20:45:54 --


Вот, не пересекаются.

[Nikolai Moskvitin]

Спасибо за чертёж! Неверно, если рассматривать точки M и N в указанном Вами порядке. Попробуйте поменять их местами. (т.е. имеются в виду расстояния от K и L до ближайших им точек M и N.

AKM:

Исправил странную ошибку автора (слово "ближайших", зачем-то окружённое долларами, что, естественно, вызывало Syntax error).

[Хорхе]

По барабану. Эти прямые я тоже проводил.

[Nikolai Moskvitin]

Ладно! Докажем! Если найдётся ошибка в доказательстве, что делать...

Решение: обозначим угол BOF как a, а угол COG как b. Тогда углы $BFK={\frac{a}{2}}= BMK=O_1MK$ (O1-искомая точка пересечения). угол $FBM={\frac{90-a}{2}}$=>углы $KBF=45+\frac{a}{2}=KMF =Ο1MO$. Угол $MOO_1={\frac{90-a-b}{2}}$ Тогда углы $ EO_1M=O_1MO+угол MOO_1=90-\frac{b}{2}$. Пусть CN пересекает OE в точке O1´. Тогда$ EO_1´N=90-\frac{a}{2}$. Тогда, так как $EO_1N=90-\frac{a}{2}$- единственный, а угол $MO_1´´N =180-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}$, то все точки O1,O1´,O1´´ совпадают.(где O1``- пересечение KM и CN)

[Хорхе]

Вот еще ошибку у Вас искать. Вы в моем рисунке найдите ошибку. Он появился раньше, чем Ваше доказательство, так что у меня приоритет.

-- Вт июн 05, 2012 21:55:50 --


На всякий случай тот же рисунок, в котором я уже все, что можно, провел. Вижу четыре троеточия, никакой одной точки не вижу.

[Nikolai Moskvitin]

Да, Вы правы! Большое спасибо! Это неверное утверждение! Не могли бы дать пару-тройку советов, как рисовать для этого форума и публиковать рисунки?
С уважением, Николай

[Хорхе]

(Оффтоп)

Рисунки рисую в Geogebra. Экспортирую в PNG (чтобы фон был прозрачный), выкладываю в Picasa и вуаля.