Алгебраическое уравнение наименьшего порядка.

[_Student]

Добрый вечер всем!

У меня такая задача: заданы два натуральных числа $p<q<99$. Необходимо найти алгебраическое уравнение минимальной степени, корнем которого является $\cos( \frac{p}{q}\pi)$.

Наверное надо использовать теорему Виета, периодичность косинуса и непроводимость полинома. Но как все это вместе связать. У кого-нибудь есть мысли по этому поводу?

[AV_77]

Ну, можно сначала найти автоморфизмы поля $\mathbb{Q}(\varepsilon)$, где $\varepsilon = \cos \frac{p}{q}\pi + i \sin \frac{p}{q}\pi$, а затем, с использованием этих автофорфизмов, уравнение, корнем которого будет $\varepsilon + \bar \varepsilon$.

[_Student]

А подскажите, пожалуйста, как искать автоморфизмы поля?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Это что, круговое поле, что ли?

[nnosipov]

А что известно ТС про круговые многочлены? Если, например, известно, что круговой многочлен неприводим, то и делать практически нечего. А если это неизвестно и это, более того, нужно доказать, то лучше найти в учебнике какое-нибудь доказательство.

[_Student]

У меня многочлен должен быть неприводимым. И что сделать надо в этом случае?

[nnosipov]

_Student в сообщении #581027 писал(а):

У меня многочлен должен быть неприводимым. И что сделать надо в этом случае?

Указать этот многочлен и доказать, что он неприводим.