2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 канторово множество
Сообщение04.06.2012, 18:24 
Добрый вечер! Очень нуждаюсь в вашей помощи!
$C$- стандартное канторово множество на отрезке $[0,1]$
1) Нужно построить канторово множество $K\subset [0,1]$ и непрерывную функцию $h:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ такую, что множество ее нулей содержит $K$ и при этом интеграл от $h$ по любому отрезку $[x,y]$ с концами в $K$ равен длине отрезка $[\pi(x),\pi(y)]$, где $\pi:[0,1] \longrightarrow [0,1]$ - гомеоморфизм, переводящий $K$ в $C$

2) Доказать, что $C+C=\{\, c_{1}+c_{2}| c_{1},c_{2} \in C \,\}$ совпадает с отрезком $[0,2]$

3) Построить такую $C^{1}$-функцию $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$, что множество ее критических значений содержит $C$. Доказать, что множество критических значений функции $g(x,y)=f(x)+f(y)$ содержит отрезок $[0,2]$. Каков класс гладкости $g$?

Не знаю как подступиться к задаче. Может стоит воспользоваться тем, что канторово множество состоит из чисел на $[0,1]$ в троичной записи которых отсутствуют единицы? Но я пока не придумал как. Буду рад любой помощи и любому совету. Спасибо!

 
 
 
 Re: канторово множество
Сообщение04.06.2012, 19:23 
KrylovFedor в сообщении #580797 писал(а):
с концами в $K$
Возьмём $K=C$ (тогда $\pi(x)=x$), и нарисуем на смежных интервалах холмики, площадь которых равна длине основания. В чём трудность?
KrylovFedor в сообщении #580797 писал(а):
2)
Да, здесь проще всего на троичные записи смотреть.
KrylovFedor в сообщении #580797 писал(а):
множество критических значений функции $g(x,y)=f(x)+f(y)$ содержит отрезок $[0,2]$.
То есть это как? Оно же множество на плоскости, как оно может содержать отрезок, заданный на прямой?

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group