доказательство (ТФКП)

[tavrik]

1) пусть $(f_n)$ будет последовательностью аналитических функций в области $D$ равномерно сходящейся к функции $f $($f$-не константa) на любом компактном подмножестве $D$.
доказать, что если $a$ - ноль функции то в любой окрестности $a$ существует ноль $f_n(z)$ для почти любого $n$.

2) дальше идет такое:
доказать, что все производные функции $e^{-z^2}$ лежат на действительной оси.
там есть направление - определяется последовательность $(1-\frac{z^2}{n})^n$ и с помощью вышеупомянутого доказательства и теоремы Ролля для многочлена степени $n$ доказывается...

помогите плиз по первому параграфу.
как доказывать эту теорему? не является ли она общей/известной?
в интернете не нашел.

[CptPwnage]

Есть такая теорема
Пусть $D$-односвязная область с правильной границей, и последовательность голоморфных в некоторой окрестности $D$ функций $f_n$ сходится равномерно на компактах к функции $f$, которая не обращается в 0 на границе $D$.
Тогда существует номер $n$, такой что начиная с него число нулей $f_n$ равно числу нулей $f$ в $D$. (Это первая теорема Гурвица, легко выводится из теоремы Руше).
Тут это и применяется, берем окрестность точки $a$ и в ней применяем теорему.

[tavrik]

мда, спасибо, нашел по имени...в лекциях по комплексн анализу Домрин/Сергеев..2-е полугодие