Построение функции Грина (УМФ)

[Leon7Archer]

Добрый день!
Помогите разобраться с задачей:

Построить функцию Грина оператора Лапласа в слое

$$Q = \{(x, y, z): (x, y) \in \mathbb{R}^2, 0 < z < h\}$$

(Я так понимаю, подразумевается задача Дирихле.)
Предположительно, следует использовать метод отражений. В этом случае представляем функцию Грина в виде:

$$G(x, \xi) = E(x, \xi) - E(x^*\!, \xi)$$

где $E(x, \xi)$ - фундаментальное решение задачи Дирихле, $x^*$ - точка вне области $Q$, симметричная $x$.
Далее я представил симметрию следующим образом: если $x = (x_1, x_2, x_3)$, то $x^* = (x_1, x_2, \frac{h}{2} + \frac{h^2 (x_3 - \frac{h}{2})}{4 | x_3 - \frac{h}{2} |^2})$
При таком построении необходимые условия на границе $Q$ соблюдены:
${x_3}^* = 0$ при $x_3 = 0$
${x_3}^* = h$ при $x_3 = h$
(остальные координаты совпадают во всей области)

Но полученная таким образом функция Грина $G(x, \xi) = \frac{1}{|x - \xi|} - \frac{1}{|x^* - \xi|}$ удовлетворяет только условиям $\Delta_{\xi} G(x, \xi) = 0$; $G(x, \xi) = 0$ при $x \in \partial Q$
По определению же функции Грина необходимы еще симметричность и (как следствие) гармоничность по второй переменной, что для полученной функции неверно. Быть может, что-то не так в алгоритме построения?
Заранее благодарен

[Vince Diesel]

Это же метод отражений Если представить, что граница - это два зеркала, то отражений будет бесконечно много. Функция Грина представляется в виде ряда, суммы всех этих отражений. Знак каждого слагаемого $\pm$ в зависимости от четности/нечетности количества отражений.

[Leon7Archer]

Vince Diesel
Благодарю, теперь разобрался.

А не могли бы Вы пояснить, почему в канонических примерах из книжки Владимирова "УМФ" (на метод отражений построения функции Грина) не возникают похожие бесконечные ряды? (рассматриваются шар, полушар, полупространство, двугранный угол)

[Vince Diesel]

Примеры простые, поцесс построения отражений заканчивается за конечное число шагов.

[Leon7Archer]

Vince Diesel
Спасибо, вопрос исчерпан