Теорвер. Стрельба по мишени

[lamo]

Здравствуйте! Помогите разобраться с задачей.
Суть такова. :)
По прямоугольной мишени размером 90x45 м. ведётся стрельба. Прицеливание ведётся по центру цели, систематические ошибки отсутствуют. Рассеяние круговое, среднее квадратическое отклонение равно 40 м. Найти мат. ожидание числа выстрелов, необходимых для одного попадания в цель.
Собственно мне видится, что решение можно разбить на два этапа.
1) Необходимо определить функцию распределения или плотность распределения точки попадания относительно центра. Видимо фраза Рассеяние круговое должна намекнуть, что это за распределение. А данное среднеквадратичное отклонение помочь составить точную функцию.
2) С помощью найденного закона определить вероятность попасть в указанный прямоугольник и применить геометрическое распределение, т.е. стрелять до тех пор, пока не будет одного попадания. Если p - вероятность успеха в одном испытании, то мат. ожидание числа необходимых выстрелов 1/p.
Собственно, затык у меня в самом начале. Я как понимаю, можно рассматривать отклонение по x и по y как независимые. Составить их законы плотности вероятностей. Общий найти как произведение. Но вот какой?

[lamo]

Я тут подумал, что из фраз Прицеливание ведётся по центру цели, систематические ошибки отсутствуют. Рассеяние круговое можно предположить, что имеется ввиду круговое нормальное распределение. Причём можно предположить, что отклонение по x и по y независимы. Тогда двумерная плотность вероятностей
$f(x,y)=\frac{1}{\sigma_{x} \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(x-a_x)^2}{2\sigma_{x}^2}}\cdot \frac{1}{\sigma_{y} \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(y-a_y)^2}{2\sigma_{y}^2}}$
где $a_x, a_y$ - мат.ожидания.
Причём круговое рассеивание характеризуется $\sigma_{x}=\sigma_{y}=\sigma=40$
Совместим начало координат с центром мишени. Известно, что мат.ожидания нормального распределения равны максимуму функции плотности вероятностей. Тогда $a_x=a_y=0$. Окончательно имеем:
$f(x,y)=\frac{1}{40 \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(x)^2}{2 (40)^2}}\cdot \frac{1}{40 \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(y)^2}{2 (40)^2}}$
Посчитаем вероятность попасть в искомый прямоугольник, который теперь имеет координаты (45;22,5)-(-45;-22,5).
$p=\int_{-45}^{45}dx\int_{-22.5}^{22.5}f(x,y)dy=0,315155$
ссылка на подсчёт
Значит ответ $1/p\approx 3.17$
Как думаете, верно?

[--mS--]

Верно. Именно такое распределение и предполагается.