Степень поля

[Naatikin]

Помогите с решением задачи.
Найти степень поля разложения для полиномов $x^2-2, x^4-2$.

Алгоритм решения: найти корни, построить поле разложения над $Q$.
Для первого: $Q[\sqrt{2}]=a+b\sqrt{2}$. Это базис, тогда степень этого поля, это число элементов в базисе равное 2.

Для второго корни $\pm\sqrt{\sqrt{2}} , \pm i\sqrt{\sqrt{2}}$
Сначало строим от иррациональных $\pm\sqrt{\sqrt{2}}$.
$K=Q[\pm\sqrt{\sqrt{2}}]=a+b\sqrt{\sqrt{2}}+c\sqrt{2}+d\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}}$.
Число элементов в базисе 4, но полином не раскладывается на множители в данном поле.
Тогда строим $Y=K[\pm i\sqrt{\sqrt{2}}]=a_2+b_2i\sqrt{\sqrt{2}}+c_2\sqrt{2}+di\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}}$. Как дальше считать?
И как достраивается R до С?
спасибо

[AV_77]

Во-первых, скобочки круглые должны быть.

Сначала $K = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$, затем $L = K(i)$. Считаете степень расширения на каждом шаге и перемножаете.

[Naatikin]

тогда степень поля $K=Q(\sqrt[4]{2})$ равна 4. степень поля $L=K(i)$ так же 4?
тогда конечная 16

[Joker_vD]

С какого перепугу-то $[K(i):K]=4$? Минимальный многочлен $m_i(x)=x^2+1$, разве нет?

[Naatikin]

откуда $x^2+1$? ведь задание $x^4-2$

[Joker_vD]

Полем разложения $x^4-2$ является $\mathbb Q(\sqrt[4]{2},i)$, верно?

[Naatikin]

верно

[AV_77]

Мы сначала присоединяем корень многочлена $x^4-2$ и получаем поле $K = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$, его степень расширения равна 4 (почему?). В $K$ многочлен $x^4-2$ уже приводим, но еще не раскладывается на линейные множители (а на какие раскладывается?). Теперь для получения поля разложения к $K$ нужно присоединить $i$ (почему и корнем какого неприводимого над $K$ многочлена он является?).

[Naatikin]

степень расширения равна числу элементов базиса.
$\pm\sqrt[4]{2}$ корень многочлена $x^2-\sqrt{2}$
остается $x^2+\sqrt{2}$ тут корни $\pm\sqrt[4]{2}$
i является корнем $x^2+1$
но его одно достаточно присоединить так как $\sqrt[4]{2}$ уже есть в поле.
следовательно конечная степень поля разложения равна 4

[AV_77]

Naatikin в сообщении #579913 писал(а):

степень расширения равна числу элементов базиса.
$\pm\sqrt[4]{2}$ корень многочлена $x^2-\sqrt{2}$
остается $x^2+\sqrt{2}$ тут корни $\pm\sqrt[4]{2}$
i является корнем $x^2+1$
но его одно достаточно присоединить так как $\sqrt[4]{2}$ уже есть в поле.
следовательно конечная степень поля разложения равна 4

Уже $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}): \mathbb{Q}] = 4$. Вы хотите сказать, что при присоединении $i$ степень расширения не меняется?

[Naatikin]

я не знаю, поэтому и спрашивал, чему равна степень $C$ над $R$

[Naatikin]

По всей видимости конечный ответ 4 - по числу элементов в базисе $\sqrt[4]{2}, \sqrt{2}, i, Q$.

[AV_77]

Naatikin в сообщении #581212 писал(а):

По всей видимости конечный ответ 4 - по числу элементов в базисе $\sqrt[4]{2}, \sqrt{2}, i, Q$.

И, по всей видимости, это неправильно. Еще раз. У вас уже $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) : \mathbb{Q}] = 4$. А еще надо $i$ туда как-то присоединить.

[Naatikin]

насколько я понял степень разложения по числу элементов в базисе считается уже от конечного поля разложения, поэтому $Q[\sqrt[4]{2}:Q]=4$ неверно.
а если рассматривать конечное поле, то как раз любой полином представим с помощью 4 элементов, указанных выше.
по крайней мере это единственное объяснение приходящее в голову

[AV_77]

(Оффтоп)

Ну, вы решаете, так что вам виднее. Хотя базис $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ у вас уже в первом посте приведен. И как раз из 4 элементов.