Моделирование случайной величины с распределением Фишера

[MaryNak]

Александрович в сообщении #581334 писал(а):

Стандартная нормально распределённая с.в. получается по формуле: сумма 12-ти стандартных равномерно распределённых с.в. минус 6.

вообще блондинкой считаете?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Не строя гипотез относительно цвета волос и его натуральности...

Это достаточно распространённый способ генерации нормально распределённой с.в. Хотя, строго говоря, даёт он не нормально распределённую, а имеющую распределение, близкое к нормальному (хотя бы потому, что плотность распределения за пределами (-6;+6) равна нулю, а не малой положительной величине, как у нормлаьного). Основан он на центральной предельной теореме, а "магические числа" 12 и 6 взяты для того, чтобы дисперсия автоматически была равна 1, а среднее 0.
Применив к полученной величине "поправку Тейчроева" (или Тичроу, кому как нравится, транслитерировать или транскрибировать), получим величину "более нормальную" (в смысле семиинварианты высшего порядка ближе к нулю).
Так способ сейчас скорее надо рассматривать, как устаревший, поскольку 12 вызовов ГСЧ обойдутся дороже вычисления логарифма и синуса-косинуса, но в своё время он был весьма популярен.

[MaryNak]

Евгений Машеров,
Спасибо за пояснение. Алгоритм показался слишком подозрительным .
Таким образом, основные методы моделирования норм. случ. величины - это использование центральной предельной теоремы и преобразование Бокса — Мюллера, так?
В одном учебнике есть формула:

$$f(x) = \frac{1} {\sqrt{2 \pi}b} \exp(-\frac{(x-a)^2} {2b^2})$$

Это случайно не про моделирование норм. случ. величины?

И еще:
Слышала, что есть метод обратной функции с кусочно-линейной аппроксимацией для моделирования норм. случ. величин, но не смогла разобраться, в чем он заключается.

[Евгений Машеров]

Не то, чтобы формула не имела отношения к рассматриваемому вопросу... Но очень косвенное. Это выражение для плотности нормального распределения.
Что до кусочно-линейной аппроксимации...
Есть универсальный метод моделирования случайной величины с любым законом распределения. Если у нас есть равномерно между нулём и единицей распределённая величина U, то величина $Z=F^{-1}(U)$ имеет распределение F(x) (здесь $F^{-1}(y)$ функция, обратная к F(x), а не обратная величина). Иногда это оказывается замечательно удобно практически, например, для экспоненциального распределения, для которого обратная функция - логарифм, но для нормального обратная функция не выражается через элементарные, а всякого рода способы вычислять через ряды весьма затратны. Но если разбить область определения обратной функции на части, в каждой из которых подогнать к ней полином или что-то ещё удобное для счёта, можно её вычислять за разумное время.

[MaryNak]

Евгений Машеров в сообщении #581572 писал(а):

Не то, чтобы формула не имела отношения к рассматриваемому вопросу... Но очень косвенное. Это выражение для плотности нормального распределения.
Что до кусочно-линейной аппроксимации...
Есть универсальный метод моделирования случайной величины с любым законом распределения. Если у нас есть равномерно между нулём и единицей распределённая величина U, то величина $Z=F^{-1}(U)$ имеет распределение F(x) (здесь $F^{-1}(y)$ функция, обратная к F(x), а не обратная величина). Иногда это оказывается замечательно удобно практически, например, для экспоненциального распределения, для которого обратная функция - логарифм, но для нормального обратная функция не выражается через элементарные, а всякого рода способы вычислять через ряды весьма затратны. Но если разбить область определения обратной функции на части, в каждой из которых подогнать к ней полином или что-то ещё удобное для счёта, можно её вычислять за разумное время.

Разобралась. Большое спасибо.
Будут вопросы - обращусь.

[Евгений Машеров]

У уже упомянутого Кнута есть описание и других методов, в частности, он предлагает метод "прямоугольника-клина-хвоста", также использующий кусочную аппроксимацию.

[MaryNak]

Евгений Машеров в сообщении #581757 писал(а):

У уже упомянутого Кнута есть описание и других методов, в частности, он предлагает метод "прямоугольника-клина-хвоста", также использующий кусочную аппроксимацию.

В интернете книгу не нашла, к сожалению

[Евгений Машеров]

http://www.twirpx.com/file/32939/
http://www.twirpx.com/file/46938/