Задача на гомоморфизмы колец

[correy]

Здравствуйте, столкнулся со следующей задачей:

Найти все гомоморфизм для следующих колец:
а) $Z \rightarrow 2Z$
б) $2Z \rightarrow 2Z$
в) $2Z \rightarrow 3Z$
г) $Z \rightarrow M_{2}(Z/2Z)$

Для варианта "а" я нашел следующее решение, однако оно не полное:
Если $\varphi (a) = 2ka$, тогда $ \varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b)$
$2kab=4k^{2}ab$, откуда следует, что $k=0$. Это решение корректно, если гомоморфизм переводит целое число $a$ в четное число $b$, которое делится на $a$. Очевидно, что здесь рассмотрены не все гомоморфизмы, а как рассмотреть их все? В вариантах "б" и "в" я действовал аналогично.

В варианте "г" я рассмотрел тот факт, что 1 переходит в единичную матрицу, а 0 - в нулевую, откуда следует, что (1+1) также переходит в нулевую матрицу (т.к. элементы матриц только 1 и 0). Отсюда следует, что любое четное число переходит в нулевую матрицу, а нечетное в единичную. Верно ли это?
Спасибо заранее за помощь.

[AV_77]

Вы начните с гомоморфизмов групп, определите их свойства, а потом оставьте те, которые являются гомоморфизмами колец.

Например, для а) гомоморфизм групп $\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}$ обладает свойством
$f(n) = f(\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_n) = \underbrace{f(1) + f(1) + \ldots + f(1)}_n = n f(1).$
В частности, для любых $a, b \in \mathbb{Z}$ будет $f(ab) = abf(1)$. Если же этот гомоморфизм является еще и гомоморфизмом колец, то должно выполняться равенство $abf(1) = f(ab) = f(a)f(b) = abf(1)^2$, откуда $f(1) = 0$.
Кстати, здесь можно сразу заметить, что $\mathbb{Z}$ кольцо с единицей, а $2\mathbb{Z}$ - нет.

[correy]

Цитата:

Если же этот гомоморфизм является еще и гомоморфизмом колец, то должно выполняться равенство $abf(1) = f(ab) = f(a)f(b) = abf(1)^2$, откуда $f(1) = 0$.

получается, что аналогично рассуждать можно и в "б"? только вместо $f(1)$ будет $f(2)$?