Про множества

[Ulya]

Здравстуйте.Есть вопросы.Помогите с их решением.
1.Как представить интервал $(a,b)$ в виде объединения счетного числа замкнутых множеств.
2.Как представить отрезок $[a,b]$ в виде пересечения счетного числа открытых множеств.
3.Пусть $f(x)$-непрерывна и строго возрастает на $[a,b]$.Доказать,что если $A \in [a,b]$-всюду плотно на $[a,b]$,то $f(A)={y=f(x),x \in A}$-всюду плотно на $[f(a),f(b)]$.
4.Доказать,что если $A$-нигде не плотно,то его замыкание $\bar A$-также нигде не плотно.

[RIP]

1. В качестве замкнутых множеств можно взять отрезки.
2. В качестве открытых множеств можно взять интервалы.
3-4. Доказывается по определению. Изложите, пожалуйста, Ваши собственные идеи.

[Ulya]

Цитата:

1. В качестве замкнутых множеств можно взять отрезки.
2. В качестве открытых множеств можно взять интервалы.

Понимаю ))
Я имела ввиду прямо формулу написать $(a,b)=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty} {...} $

[RIP]

Ulya писал(а):

Цитата:

1. В качестве замкнутых множеств можно взять отрезки.
2. В качестве открытых множеств можно взять интервалы.

Понимаю ))
Я имела ввиду прямо формулу написать $(a,b)=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty} {...} $

А сами Вы подумать не хотите?
Ну попробуйте решить более простую (по-моему) задачу. Придумайте последовательность интервалов, пересечение которых есть одноточечное множество.

[Ulya]

$(1/n+1;1/n)$

[RIP]

Ulya писал(а):

$(1/n+1;1/n)$

Видимо, подразумевается $(\frac1{n+1};\frac1n)$?
Их пересечение пусто. Подправьте немного левые концы интервалов, чтобы в пересечении получилось $\{0\}$

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

$(1/n+1;1/n)$

- вдвойне неверный пример:
1) неверно набрана формула.
2) если формулу набрать верно, то пересечение будет пусто.

[Ulya]

Цитата:

немного подправьте концы

так: $[\frac{1}{n+1};\frac{1}{n})$
Мн-во $R$ всюду плотно в $E$,если $[R]=E$.
Мн-во $R$ нигде не плотно,если для любых шаров $R \in B$, найдется шарик т.ч. $R \notin B_1$

[RIP]

Ulya писал(а):

Цитата:

немного подправьте концы

так: $[\frac{1}{n+1};\frac{1}{n})$

Я имел в виду, что $\frac1{n+1}$ надо поменять на что-то другое.

[Someone]

Ulya писал(а):

[Мн-во $R$ нигде не плотно,если для любых шаров $R \in B$, найдется шарик т.ч. $R \notin B_1$

Нет, символы $\in$ и $\notin$ здесь не к месту. Поаккуратнее сформулируйте определение. В этой задаче правильно сформулированное определение составляет половину решения.

[RIP]

Ulya писал(а):

Мн-во $R$ нигде не плотно,если для любых шаров $R \in B$, найдется шарик т.ч. $R \notin B_1$

Множество $R$ нигде не плотно (в топологическом пространстве $T$), если любое непустое открытое множество $U\subset T$ содержит непустое открытое подмножество $V\subset U$ такое, что $V\cap R=\varnothing$
В метрическом пространстве в качестве $U$ и $V$ можно брать открытые шары.

Добавлено спустя 9 минут 34 секунды:

RIP писал(а):

Я имел в виду, что $\frac1{n+1}$ надо поменять на что-то другое.

Подсказка: $0\notin(\frac1{n+1};\frac1n)$

[Falex]

Вот так попробуйте: $(a+\frac{1}{n};b-\frac{1}{n}$.

[Ulya]

Насчет 3-4 вообще не представляю ход решения по таким задачам :

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

.Доказать,что если $A$-нигде не плотно,то его замыкание $\bar A$-также нигде не плотно.

Пусть В -интервал, тогда в нём обязательно найдётся другой интервал Ш, не содержащий точек из А (кстати, почему?). Теперь Вам осталось придумать такой интервал Т в Ш, который заведомо не сможет содержать точек из замыкания А. Вот это придумывание и докажет нигде не плотность замыкания А. (кстати, почему?)

[RIP]

Насчет задачи 3. Предлагаю использовать такое определение.
Множество $M\subset[c;d]$ всюду плотно (в $[c;d]$) $\Longleftrightarrow$ для любой точки $y\in[c;d]$ и любого $\varepsilon>0$ найдется такая точка $z\in M$, что $|z-y|<\varepsilon$

Или такое:
Множество $M\subset[c;d]$ всюду плотно (в $[c;d]$) $\Longleftrightarrow$ для любой точки $y\in[c;d]$ найдется такая последовательность точек $z_n\in M$, что $z_n\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}y$