Вероятность отклонения двух значений

[zav-mikhail]

Добрый вечер. Помогите с задачей. Дана нормально распределенная случайная величина.
Математическое ожидание и дисперсия известны. Найти вероятность того, что два значения этой случайной величины будут отличаться друг от друга больше, чем на $\varepsilon$.

Не знаю как подступиться даже. Рассмотреть с.в. $|X-Y|$, где $X,Y$ - одинаково распределенные с.в.? Но как найти ее плотность вероятности? Задача, я думаю, связана с неравенством Чебышева. ($P(||X-Y|-M(|X-Y|)|>\varepsilon)<\frac{D}{\varepsilon^2}$,
но $M(|X-Y|)\neq 0$ или равно?)

[ewert]

zav-mikhail в сообщении #578510 писал(а):

Найти вероятность того, что два значения этой случайной величины будут отличаться друг от друга больше, чем на $\varepsilon$.

Довольно бессмысленная формулировка.

Если же придать ей смысл и иметь в виду, что речь об отклонении друг от друга значений двух независимых и одинаково распределённых величин, то надо использовать тот факт, что совместная плотность распределения в нормальном случае симметрична относительно поворотов (если, конечно, эти величины центрированы, но этого и достаточно). В частности, поворот на 45 градусов даст величины $\frac1{\sqrt2}(X-Y)$ и $\frac1{\sqrt2}(X+Y)$, которые также независимы и распределены ровно по тому же закону, что и исходные.

[zav-mikhail]

Спасибо. Но я не разобрался. Что такое центрированная с.в.($M(X)=0?$)?
Поворот понятно как получается.
Как мне помогут указанные с.в.? Разъясните подробнее, пожалуйста.
К с.в. применить неравенство Чебышева: $P(|(X-Y)-M(X-Y)|>\varepsilon)<\frac{D(X-Y)}{\varepsilon^2}$, где $M(X-Y)=0$?

[--mS--]

Известно ли Вам, какое распределение будет иметь сумма двух независимых нормальных величин?

[zav-mikhail]

Думаю нормальное.

[ИСН]

Так. А с каким средним? с какой дисперсией?

[zav-mikhail]

$M(X+Y)=M(X)+M(Y)$ Для дисперсии аналогично. Задавайте дальше вопросы. Я пока не понимаю, к чему вы клоните.

[ИСН]

А если у Y нормальное распределение, то у -Y какое?

[zav-mikhail]

Вырожденное? Об этом я сначала подумал, но меня смутил модуль.
То есть, вероятность равна нулю.

[ewert]

zav-mikhail в сообщении #578544 писал(а):

К с.в. применить неравенство Чебышева: $P(|(X-Y)-M(X-Y)|>\varepsilon)<\frac{D(X-Y)}{\varepsilon^2}$, где $M(X-Y)=0$?

Ни разу. Неравенство Чебышёва -- это очень грубая универсальная оценка. А тут всё конкретно.

[ИСН]

zav-mikhail в сообщении #578588 писал(а):

Вырожденное?

-- Ср, 2012-05-30, 20:58 --

Ещё раз: у Y нормальное распределение с известными M и D. То есть Y может быть хоть 100, хоть -100. Теперь что можно сказать про -Y? Он может быть хоть -100, хоть 100. Вырожденное?

[zav-mikhail]

Подумал,что буква "у" это "Y". У -Y нормальное с мат ожид. -а и той же дисперсией.

-- Ср май 30, 2012 20:05:01 --

То есть, $M(X+(-Y))=0$.

[ИСН]

Да, к этому я и вёл. Теперь Вы (почти) знаете распределение X-Y.

[zav-mikhail]

Распределение $X-Y$ является нормальным с $M=0$ и $D(X-Y)=2D$? Далее вычислить вероятность $1-P(-\varepsilon<X-Y<\varepsilon)$?

[ИСН]

Выходит, что так.