Нисходящие серии. (Феллер, том 2)

[sonny]

X_1, X_2, ... - независимые показательно распределенные сл. вел.
Найти вероятность события $X_1 \geqslant X_2 \geqslant ... \geqslant X_{N-1} < X_N $
Док-ть, что $P(N = n) = \frac{(n-1)}{n!}$.

$$\int\limit_{0}^{\infty}p_{X_1}(t_1)\int\limit_{0}^{x_1}p_{X_2}(t_2)\int\limit_{0}^{x_2}p_{X_3}(t_3)...\int\limit_{0}^{x_{N-2}}p_{X_{N-1}}(t_{N-1})\int\limit_{x_{N-1}}^{\infty}p_{x_N}(t_N)dt_{N}dt_{N-1}...dt_{2}dt_{1}$$

где $p_{X_i}(t_i)$ это плотность случайной величины.

Что не правильно я здесь делаю?

[--mS--]

Всё так. Вот только эту вероятность можно вычислять и без интегралов, комбинаторными методами: она одна и та же для любых независимых и одинаково распределённых величин с абсолютно непрерывными распределениями. Это в точности $N-1$ из $N!$ перестановок $N$ несовпадающих чисел. Ставим одно - не самое маленькое - на последнее место (а остальные $N-1$ расположить по убыванию можно единственным образом).