Приклеивание топологических пространств X и Y

[xmaister]

У Прасолова на стр.132 говорится, что приклеивание к топологическому пространству $X$ пространства $Y$ по отображению $\varphi :A\to Y$, определеяется следующим образом: Пусть $A\subset X$ и $\varphi :A\to Y$ и вводят отношение экивалентности $a\sim\varphi (a)$ в $X\oplus Y$. Я не понимаю, это отношение экивалентности задаёт разбиение $X\oplus Y$ на 2 подмножества: $A\cup\varphi (A)$ и $X\oplus Y\setminus (A\cup\varphi (A))$ или каким-то иным образом? Потому-что далее нужно сделать переход к факторпространству, а я не понимаю толком по какому отношению его производить. А отображение $\varphi :A\to Y$ вообще произвольное, не обязательно непрерывное?

[Padawan]

$A\cup\varphi(A)$ разбивается на множества $\{y\}\cup\varphi^{-1}(y)$, где $y\in \varphi (A)$. $X\oplus Y\setminus (A\cup\varphi (A))$ разбивается на одноточечные множества.