Делимость на факториал.

[Imperator]

Докажите, что для любого натурального числа $n$ $\prod\limits_{k=0}^{n-1}(2^{n}-2^{k})$ делится на $n!$.

[RIP]

$2$ входит в $n!$ в степени не выше $n-1$, а в произведение $\prod\limits_{k=0}^{n-1}(2^{n}-2^{k})$ - не ниже $n-1$.
Простое $2<p\leqslant n$ входит в $n!$ в степени $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lfloor\frac n{p^k}\rfloor<\frac n{p-1}$, а в произведение - не ниже $\lfloor\frac n{p-1}\rfloor$, т.к., по малой теореме Ферма, на $p$ делятся сомножители $2^n-2^{n-(p-1)l}$ для $l=1,2,\ldots,\lfloor\frac n{p-1}\rfloor$