Ранг линейного оператора преобразования

[number_one]

1) Отображение $A:\;\;\;R^3\to R^4$ задается матрицей

$1\;\;\;\;0\;\;\;1\;\;\;1$

$0\;\;\;\;1\;\;\;1\;\;\;0$

Найти ранг отображения и какие-либо базисы $\{h_1,h_2,...,h_r\}$ в $\operatorname{Im}\;\;A$; какие либо образы $\{g_1,g_2,...,g_r\}$ в $\operatorname{Im}\;\;A^T$

Как подступиться к такой задаче? Определения - знаю...

2) Ранг линейного оператора преобразования и ранг матрицы линейного оператора - это одно и тоже?

[zhoraster]

2) да.

1) У Вас написано $\mathbb R^3\to\mathbb R^4$, а матрица $\mathbb R^4\to\mathbb R^2$. В любом случае базис образа вот он, написан. Второе я не понял, возможно, имеется в виду базис образа сопряженного оператора? Он тоже написан.

[number_one]

zhoraster в сообщении #578205 писал(а):

2) да.

1) У Вас написано $\mathbb R^3\to\mathbb R^4$, а матрица $\mathbb R^4\to\mathbb R^2$. В любом случае базис образа вот он, написан. Второе я не понял, возможно, имеется в виду базис образа сопряженного оператора? Он тоже написан.

Спасибо, да, опечатался. А где именно записан?)

[zhoraster]

number_one в сообщении #578209 писал(а):

Спасибо, да, опечатался. А где именно записан?)

Один по строчкам, другой по столбикам (но не всем, их там слишком много).

[number_one]

Базис образа - это $x_1=(1,0)^T$ $\;\;\;\;x_2=(0,1)^T$ $\;\;\;x_3=(1,1)^T$ ?

[zhoraster]

Базис -- это вообще что такое?

[number_one]

zhoraster в сообщении #578223 писал(а):

Базис -- это вообще что такое?

Базис - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Как мне кажется, что один из векторов можно выкинуть, да? (так как они все-таки зависимы)

[number_one]

Правда ли, что образ - всегда линейная оболочка столбцов, а ядро - линейная оболочка строк?

[zhoraster]

number_one в сообщении #578240 писал(а):

Правда ли, что образ - всегда линейная оболочка столбцов, а ядро - линейная оболочка строк?

Не ядро.

-- Ср май 30, 2012 08:17:07 --

number_one в сообщении #578229 писал(а):

Как мне кажется, что один из векторов можно выкинуть, да? (так как они все-таки зависимы)

Зависимы, вот именно.

[number_one]

zhoraster в сообщении #578260 писал(а):

number_one в сообщении #578240 писал(а):

Правда ли, что образ - всегда линейная оболочка столбцов, а ядро - линейная оболочка строк?

Не ядро.

Спасибо. Так как в старт-посте ничего не писал про ядро, чтобы не разводить оффтоп - создам новую тему.