Зависимость функции Эйлера от квадратов взаимно простых

[juna]

Старая задачка, но интересная.
Пусть $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$, $\{r_i:0<r_i<n, (r_i, n)=1\}$, где $i=1...\varphi(n)$
Докажите, что
$r_1^2+r_2^2+...+r_{\varphi(n)}^2=\frac{\varphi(n)}{3}(n^2+\frac{(-1)^k p_1p_2...p_k}{2})$, где $\varphi(n)$ - функция Эйлера.

[RIP]

Разумеется, $n>1$. Решается точно так же, как и вычисляется $\varphi(n)$.

$$\sum_{\substack{k=1\\(k,n)=1}}^nk^2=\sum_{k=1}^nk^2\sum_{d|(k,n)}\mu(d)=\sum_{d| n}\mu(d)\cdot d^2\cdot\frac{\frac nd(\frac nd+1)(2\frac nd+1)}6=\frac13n^2\varphi(n)+0+\frac16n\prod_{p|n}(1-p)=\frac{\varphi(n)}3\left(n^2+\frac12\prod_{p|n}(-p)\right)$$