Изоморфизм колец.

[farewe11]

Добрый день. У меня в задаче требуется доказать, что $\mathbb{Z}/ (mn)\mathbb{Z}$ изоморфно $\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ только в том случае, когда $m$ и $n$ - взаимно простые. Но вопрос пока даже не в этом.
$\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ - что это за кольцо? Если подумать логически, то это кольцо из $m\cdot n$ элементов, каждый из которых - это сумма по модулю 2 двух каких-либо элементов из $\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$. Тогда как можно сложить классы вычетов по модулю 2? Сложить каждый элемент класса с каждым? Совсем не похоже на правду...

[Kallikanzarid]

farewe11
Это прямая сумма. Определение - в учебнике.

[farewe11]

Да, и правда. вот глупость-то сморозил...
ну в таком случае каждый элемент нового кольца - это будет сумма двух каких-либо классов вычетов: по модулю $m$ и $n$.

[Joker_vD]

$\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/n\mathbb Z=\{(x+m\mathbb Z,y+n\mathbb Z)\mid x,y\in\mathbb Z\}$. Это просто прямое произведение двух колец, с такими же операциями.

[farewe11]

Kallikanzarid в сообщении #577893 писал(а):

Это прямая сумма

Joker_vD в сообщении #577960 писал(а):

Это просто прямое произведение

Даже и не знаю, чему верить.

Joker_vD в сообщении #577960 писал(а):

$\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/n\mathbb Z=\{(x+m\mathbb Z,y+n\mathbb Z)\mid x,y\in\mathbb Z\}$.

А что это за обозначение такое: $m\mathbb Z$, $n\mathbb Z$ ?

[Kallikanzarid]

farewe11

Джокеру :) Правильное обозначение, кстати, - $\times$, а не $\oplus$.
http://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_rings

farewe11 в сообщении #578131 писал(а):

А что это за обозначение такое: $m\mathbb Z$, $n\mathbb Z$ ?

$m\mathbb{Z} = \{\ldots, -2m, -m, 0, m, 2m, \ldots\}$

[farewe11]

Kallikanzarid в сообщении #578133 писал(а):

farewe11
Правильное обозначение, кстати, - $\times$, а не $\oplus$.
http://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_rings

Что же, в условии, значит, неправильное обозначение дано? ну в общем, считаем, что это наше кольцо состоит из
$\{(x+m\mathbb Z , y+n \mathbb Z ) | \ x,y\in \mathbb Z\}$. Сколько в нём тогда элементов, выходит, содержится? $m\cdot n$. Все верно.
Тогда у нас имеется 2 группы: ${0,1,2,\dots ,m\cdot n}$ и $\{(x+m\mathbb Z , y+n \mathbb Z ) | \ x,y\in \mathbb Z\}$. Доказать требуется, что они изоморфны, только если $m$ взаимно простое с $n$. Надо подумать, но я так предварительно оценил ситуацию.. кажись, если они не будут взаимно просты, то в нашем втором кольце некоторые элементы совпадут, таким образом, кол-во элементов будет неравным.Верно ли?

[AV_77]

Так вы попробуйте изоморфизм построить. И посмотрите, что из этого получится. Ну и не забывайте, что группа $\mathbb{Z}_{mn}$ циклическая, это поможет.

[Joker_vD]

(Терминология)

Это очень давняя и нудная история. Есть такое действие: "разложить абелеву группу/кольцо $A$ в прямую сумму подгрупп/идеалов $I,J$". Т.е. показать, что любой элемент $a\in A$ однозначным образом можно записать как сумму $a=b+c$, где $b\in I,\,c\in J$. Если опустить требование однозначности разложения, то получится просто разложение в сумму. Это все дело записывают как $A=I\oplus J$ и $A=I+J$ соответственно.

Все вроде бы ясно, да? Понятно, почему сумма? А теперь фокус: рассмотрим прямое произведение $I\times J$. Построим отображение $f\colon I\times J\to A$, $f(b,c)=b+c$. Тривиально проверяется, что это биективный (за счет "прямоты") гомоморфизм — изоморфизм! То есть $I\times J\cong I\oplus J=A$.

Рассмотрим теперь вообще левые группы/кольца $B,C$, которые по счастливой случайности обладают свойством $B\times C\cong A$. Тогда, если взять этот самый изоморфизм $\varphi\colon B\times C\to A$, то опять же легко проверяется, что $A=\varphi(B)\oplus\varphi(C)$. Ну, этот факт обычно тоже записывают как $A=B\oplus C$.

Теперь главный вопрос: нафиг нам все-таки два термина для (изначально) разных вещей, которые в конце-концов все-таки оказываются одинаковыми? Ответ: они не совсем одинаковы. Можно ведь рассмотреть прямую сумму/произведение не только для двух, а и для трех, четырех, ... бесконечного числа слагаемых/сомножителей. И вот в случае бесконечного числа и проявляется различие.

Говорят, что абелева группа $A$ разлагается в прямую сумму подгрупп $A_i$, $i\in\mathbb N$, если всякий элемент $a\in A$ можно однозначно представить в виде суммы $a=a_1+a_2+\ldots+a_n+\ldots$ ($a_i\in A_i$), где все слагаемые, кроме конечного числа, равны нулю. Это означает, что $\bigoplus\limits_{n=1}^{\infty}A_i \ncong \prod\limits_{n=1}^{\infty}A_i$, потому что в произведении есть элементы вообще без нулевых компонент. Вот и разница. Прямая сумма — это подгруппа/подкольцо прямого произведения, содержащее только элементы с конечным числом ненулевых компонент. В случае, когда прямая сумма/произведение рассматриваются для конечного числа слагаемых/сомножителей, они совпадают. Если для бесконечного — различаются.

Однако маленькое замечание. В теории групп (вообще, не только абелевых) говорят, ясен пень, о разложении в прямое произведение подгрупп и просто прямом произведении групп — там ведь никаких сумм нет, операцию называют не "сложением", а "умножением". В случае бесконечного числа сомножителей говорят тогда о "декартовом произведении" и "прямом произведении" — что соответствует "прямому произведению" и "прямой сумме", которые я только что описал. Такая вот редиска. Если еще учесть, что кое-кто из изучающих абелевые группы вместо "прямая сумма" и "прямое произведение" говорит "прямая сумма" и "декартова сумма"(sic!), то становится несколько грустно... Как я уже сказал, это давняя и нудная история, и появление теории категорий только все усугубило.

[farewe11]

Изоморфизм очевиден, надо сказать: $f = \{ a \mod{m}, a\mod{n} | \ a\in\mathbb Z _{mn} \}$

-- Ср май 30, 2012 00:41:03 --

Если $m$ и $n$ имеют общий делитель, отличный от 1, то элементы повторятся. $f(0)$ будет равной $f(m)$, если $m<n$.

[Joker_vD]

farewe11
Это вы показали, что если $(m,n)\ne1$, то ваша $f$ — не изоморфизм. Ну а вдруг изоморфизм все же есть, только другой? (Подсказка: посмотрите на порядки элементов).

Кстати, а вы уверены, что $f$ — действительно биективный гомоморфизм, если $(m,n)=1$?

[farewe11]

Joker_vD в сообщении #578198 писал(а):

farewe11
Это вы показали, что если $(m,n)\ne1$, то ваша $f$ — не изоморфизм. Ну а вдруг изоморфизм все же есть, только другой? (Подсказка: посмотрите на порядки элементов).

Кстати, а вы уверены, что $f$ — действительно биективный гомоморфизм, если $(m,n)=1$?

Отвечая на второй вопрос - да, уверен. Операция сохраняется, отображение взаимнооднозначное. В чём подвох?
А на первый вопрос - ... вообще можно начать изворачиваться, мол, не может быть двух совсем разных изоморфизмов для одних и тех же групп, но это как-то не по-правильному. Просто я не знаю, как Вашу подсказку применить. Что у нас там с порядоками элементов? В исходной группе порядки элементов кратны $m\cdot n$..