Решить уравнение в квадратичном расширении поля

[Spandei]

Задача:
Построить квадратичное расширение поля из 5 элементов и решить в нем уравнение $x^2+x+2=0$
Поле из 5 элементов - видимо, $F_5$. Пусть его элементы - $0,1,2,3, \sqrt{-7}$. Тогда квадратичным расширением будут полиномы не выше 2 степени с коэффициентами из этого поля.
И корнями будут числа $\frac{-1+\sqrt{-7}}{2},\frac{-1-\sqrt{-7}}{2}$
Где я неправ?
Вообще, по-моему, все не так я делал, мне говорили, что надо строить поле через неприводимый в нем полином, как называется этот алгоритм, где почитать про него можно?

[nnosipov]

Spandei в сообщении #577739 писал(а):

Где я неправ?

Например, здесь:

Spandei в сообщении #577739 писал(а):

Поле из 5 элементов - видимо, $F_5$. Пусть его элементы - $0,1,2,3, \sqrt{-7}$.

[Spandei]

Да, его элементами будут 0,1,2,3,4.
А элементами расширения - $5^3=125$ полиномов с коэффициентами из $F_5$.
А как решить уравнение?

[nnosipov]

Spandei в сообщении #577760 писал(а):

А элементами расширения - $5^3=125$ полиномов с коэффициентами из $F_5$.

Неверно.

[Spandei]

Так, квадратичное расширение - это расширение степени 2?
То есть там будет 25 элементов?

[nnosipov]

Spandei в сообщении #577770 писал(а):

То есть там будет 25 элементов?

Да.

[Хорхе]

На всякий случай замечу, что $\sqrt{-7}=\sqrt{3}$. На один символ меньше, как-никак.

[Spandei]

Отлично, полиномы вида $ax+b$, где $a,b \in F_5$
А как найти корни полинома?

[AV_77]

Вы сначала расширение постройте, а потом уже и уравнение решайте.

[Spandei]

Так вроде как элементами расширения будут полиномы
$0,1,2,3,4$
$x,x+1,x+2,x+3,x+4$
...
$4x,4x+1,4x+2,4x+3,4x+4$
всего 25 штук

[AV_77]

Полиномы - полиномами, а операции с ними надо как-то задать.

[Spandei]

Можно построить таблицы сложения и умножения, используя $x^2+x+2=0$.
Там правда будет правда размер 25 на 25...
Еще заметил закономерность: если $x$ - корень, то $4x+4$ - тоже корень.

$(4x+4)^2+4x+4+2=x^2+2x+1+4x+1=x^2+x+2=0$

-- Пн май 28, 2012 22:45:42 --

Так вот, мы можем квадратичное расширение строить как полиномы, а можем взять конкретное $t$.
Разве нельзя, следуя из этого, просто написать: пусть поле $F_{25}$ получено присоединением корня t неприводимого полинома $f(x)=x^2+x+2$ к простому полю $F_5$. Тогда корни полинома $f(x)$ в поле $F_{25}$ равны $\{t,4t+4\}$.

[nnosipov]

Spandei в сообщении #577795 писал(а):

Разве нельзя, следуя из этого, просто написать: пусть поле $F_{25}$ получено присоединением корня t неприводимого полинома $f(x)=x^2+x+2$ к простому полю $F_5$. Тогда корни полинома $f(x)$ в поле $F_{25}$ равны $\{t,4t+4\}$.

Конечно можно.

Spandei в сообщении #577795 писал(а):

Еще заметил закономерность: если $x$ - корень, то $4x+4$ - тоже корень.

Здесь можно просто сослаться на формулы Виета: если $t$ --- корень уравнения $x^2+x+2=0$, то $-1-t=4+4t$ также будет корнем.