Функциональное уравнение

[Ktina]

Функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ удовлетворяет уравнению

$$4f(f(x))-2f(x)-3x=0$$

для всех $x\in\mathbb R$.
Найти все такие функции.

(Жалкое подобие попытки)

Единственное, в чём я смогла продвинуться - это доказать, что $f(0)=0$.

Действительно, пусть $f(0)=a$.

Тогда $4f(a)-2a-3\cdot 0=0$, откуда $f(a)=\frac{a}{2}$.

Но тогда $4f(\frac{a}{2})-2\cdot\frac{a}{2}-3a=0$, откуда $f(\frac{a}{2})=a$.

Но тогда $4f(a)-2a-3\cdot\frac{a}{2}=0$, откуда $f(a)=\frac{7}{8}a$ и оно же равно $\frac{a}{2}$, а это возможно только при $a=0$.

А куда дальше плясать?

[Хорхе]

Там ни разу слово "непрерывные" не пропущено?

Иначе тут фигня получается, как с уравнением Коши, только идейно проще.

Понятно, что этому уравнению удовлетворяют две линейные функции: $\alpha_{+} x$ и $\alpha_{-} x$, где $\alpha_{\pm}= (1\pm\sqrt{13})/4$. Поэтому введем естественное отношение эквивалентности: $x\sim y$, если $x = \alpha_+^k\alpha_-^l y$, $k,l\in\mathbb Z$. На каждом из классов эквивалентности (коих несчетное число, поскольку каждый класс, за исключением $\{0\}$, счетен) зададим функцию $f$ как $\alpha_{+} x$ или $\alpha_{-} x$. Тогда $f$ будет сохранять классы, и соотношение будет очевидным образом выполнено. Получится ужасающее количество решений, больше континуума.

[Ktina]

Глубокоуважаемый модератор!

Не могли бы Вы перенести данную тему в раздел "Олимпиадные задачи"?
Сперва я подумала, что задачка стандартная и я просто туплю. Но оказывается, не всё так просто и задача и впрямь нетривиальная.

Заранее благодарна!
(пока писАла, меня опередили)

-- 28.05.2012, 21:50 --

Хорхе в сообщении #577827 писал(а):

Там ни разу слово "непрерывные" не пропущено?

Вот и я об этом подумала. Но ведь не написано "continuous function"

[Хорхе]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #577829 писал(а):

Глубокоуважаемый модератор!

Не могли бы Вы перенести данную тему в раздел "Олимпиадные задачи"?
Сперва я подумала, что задачка стандартная и я просто туплю. Но оказывается, не всё так просто и задача и впрямь нетривиальная.

Заранее благодарна!

В таких случаях можно (и нужно) нажать кнопочку "пожаловаться" внизу своего сообщения. Так модераторы гораздо раньше узнают о Вашем желании.

[zhoraster]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: просьба автора.

Я также немного поменял название.

[Ktina]

По всей вероятности, слово "непрерывные" в условии задачи всё же пропущено.

[Хорхе]

Только, сдается мне, даже непрерывность эту задачу не спасет. Вот тут неожиданно спросили про инволюции, и я вдруг подумал: "Да, инволюции!"

Данное уравнение не сильно отличается от уравнения вроде $h(h(x))=x$, у которого даже непрерывных решений тьма. Так что не хочу об этой задаче больше думать :)

[Dave]

А вот что касается уравнения $h(h(x))=x,$ то получилась интересная, хотя и несложная задача.

Докажите, что для любой нетривиальной (не равной тождественно $x$) непрерывной функции $h: \mathbb R \to \mathbb R$, удовлетворяющей такому уравнению, существует такая константа $a$ и функция $f: (-\infty,a] \to [a,+\infty)$, что

$$h(x)=\begin{cases} f(x),&\text{если} \; x \leqslant a ;\\ f^{-1}(x),&\text{если} \; x>a ,$ \end{cases}$$

причём
1) $f(x)$ непрерывна во всей области определения;
2) $f(x)$ монотонно убывает во всей области определения;
3) $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$;
4) $f(a)=a$.

[svv]

Ktina, а где Вы эту задачу нашли?
Мой вопрос, конечно, экстраматематический. Задачи надо решать, а не спрашивать, откуда они.

[hurtsy]

Ktina в сообщении #577705 писал(а):

Единственное, в чём я смогла продвинуться - это доказать, что $f(0)=0$.

(не надо дальше плясать)

Действительно, пусть $f(0)=a$.

Тогда $4f(a)-2a-3\cdot 0=0$, откуда $f(a)=\frac{a}{2}$.

Но тогда $4f(\frac{a}{2})-2\cdot\frac{a}{2}-3a=0$, откуда $f(\frac{a}{2})=a$. (при $x=0$ а $ a\not = 0 $ будет $ -3x\not = -3a$)

Благодаря вам, я научился вставлять заглавие в оффтопик. С уважением