2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Из колоды карт наудачу берут шесть...
Сообщение18.01.2007, 23:48 


18/01/07
5
Добрый день!

Помогите, пожалуйста, с решением следующей задачи.

Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут две пики, идущие подряд (остальные - других мастей).

Я понимаю как решить задачу без условия того, что эти две пики идут подряд:

$p = \frac {C_9^2 \cdot C_2_7^4} {C_3_6^6}$

Но вот как учесть это условие я не знаю.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Попробуйте каждую из возможных комбинаций двух идущих подряд пиковых карт рассмотреть, как склеенную из двух карт единую карту и каждый раз пересчитать вероятность по той же формуле для выбора уже четырёх оставшихся карт из 27. А потом воспользуйтесь формулой вероятности для объединения несовместных событий.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2007, 00:16 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Я бы предложил идти другим путем. Вы посчитали количество комбинаций с двумя пиковыми без учета порядка. Шесть карт можно упорядочить ровно $6!$ способами. Т.е. если бы надо было посчитать число упорядоченных комбинаций (без дополнительного условия), то найденное Вами число следовало бы умножить на $6!$. А Вам нужно посчитать число способов упорядочить 6 карт, причем так, чтобы две заданные из них шли бы подряд. Тут действительно воспользуйтесь методом мысленного "склеивания" двух пиковых карт. Только не забудьте учесть, что их можно склеить двумя способами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2007, 00:49 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
А можно еще и так решать задачу (проверьте, правильно ли):

Считаем вероятность каждого из шести раскладов:

1) пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика, не_пика;
2) не_пика, пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика;
...
6) не_пика, не_пика, не_пика, не_пика, пика, пика.

Все они не пересекаются, а вероятность каждого из них равна $\left(\dfrac14\right)^2\left(\dfrac34\right)^4=\dfrac{3^4}{4^6}$. Искомая вероятность равна их сумме, т.е. этому числу, умноженному на 6:
$6\dfrac{3^4}{2^{12}}=\dfrac{3^5}{2^{11}}=\dfrac{243}{2048}$. Это примерно 12%.

Updated: здесь ошибка: раскладов пять, а не шесть (см. далее).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2007, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Gordmit писал(а):
Считаем вероятность каждого из шести раскладов:

1) пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика, не_пика;
2) не_пика, пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика;
...
6) не_пика, не_пика, не_пика, не_пика, пика, пика.


Точно шести?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2007, 01:13 


18/01/07
5
Someone писал(а):

Точно шести?


Пяти.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2007, 01:15 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Someone писал(а):
Gordmit писал(а):
Считаем вероятность каждого из шести раскладов:

1) пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика, не_пика;
2) не_пика, пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика;
...
6) не_пика, не_пика, не_пика, не_пика, пика, пика.


Точно шести?
Мда, обсчитался. Спасибо. Пять их, а не шесть :)
Соответственно, слегка изменится ответ: $\dfrac{5\cdot 3^4}{2^{12}}=\dfrac{405}{4096}$, что составляет около 10%.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2007, 09:53 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Gordmit писал(а):
а вероятность каждого из них равна $\left(\dfrac14\right)^2\left(\dfrac34\right)^4=\dfrac{3^4}{4^6}$.


Сам метод хорош, но только данное утверждение неверно. Такой ответ был бы, если бы карты извлекались с возвращением. А при выборке без возвращения вероятности вытянуть пику и не-пику меняются в зависимости от того, что было до того, так как меняется состав оставшейся части колоды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности.
Сообщение20.01.2007, 00:41 


18/01/07
5
Спасибо за советы по решению.

Рассматривая возможные варианты появления подряд двух пик, у меня получилось следующее:

$p = \frac {C_9^2 \cdot C_2_7^4} {C_3_6^6} + \frac {C_2_7^1 \cdot C_9^2 \cdot C_2_6^3} {C_3_6^6} + \frac {C_2_7^2 \cdot C_9^2 \cdot C_2_5^2} {C_3_6^6} + \frac {C_2_7^3 \cdot C_9^2 \cdot C_2_4^1} {C_3_6^6}$
PAV писал(а):
Только не забудьте учесть, что их можно склеить двумя способами.

Вот это я не поняла. Объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2007, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Если сначала появляется туз пик, а сразу за ним - валет пик, то это не то же самое, когда сначала появляется валет пик, а сразу за ним - туз пик. Иначе говоря, существенен порядок пиковых карт в их паре.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2007, 01:20 


18/01/07
5
Brukvalub писал(а):
Если сначала появляется туз пик, а сразу за ним - валет пик, то это не то же самое, когда сначала появляется валет пик, а сразу за ним - туз пик. Иначе говоря, существенен порядок пиковых карт в их паре.


Почему существенен порядок? Ведь в условии, как я поняла, оговаривается порядок выпадения карт: точно должны быть 2 идущие подряд пики. Не оговаривается, что это будут карты по возрастанию или убыванию, просто какие-то 2 пики, любые. Или я не правильно поняла Вашу мысль?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2007, 02:31 


14/01/07
47
$p=\frac{5*9*8*(27*26*25*24)} {36*35*34*33*32*31}$-это бонально посчитав вероятности выпадения,то есть $(\frac{9} {37-i_1})*(\frac{8} {37-i_2})*(\frac{27} {27-i_3})*...*(\frac{24} {37-i_6})$, где $i_j$- номера вытаскивания карт, и умножив на 5.(кстати можно заметить, что вероятность выпадения 2-х пик из 6-и карт в любом положении равны)
Две пики можно переставить 15-ю способами среди 6-и карт, а нужных перестановок-5, значит полученное вами число(в 1-м посте) нужно разделить на 3.(как ни странно оба числа совпадают :) )

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

10.8%

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2007, 08:48 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Последнее решение xolms правильное.

Я имел в виду следующее рассуждение. Количество всех наборов без учета порядка равно $C_{36}^{6}$, а наборов с двумя пиками $C_9^2\cdot C_{27}^4$.

Всего существует $6!=720$ способов упорядочить любые 6 карт. При нашем же условии мы сначала объединяем две имеющиеся у нас пики, получая 5 карт, которые уже упорядочиваем всеми возможными $5!$ способами. Но при этом первый шаг (объединение) можно сделать двумя способами, так как либо положить сначала младшую карту, затем старшую, либо наоборот.

Итого, в исходной формуле $\frac{C_9^2\cdot C_{27}^4}{C_{36}^{6}}$ нужно знаменатель умножить на $6!$, а числитель - на $2\cdot 5!$. Это аналогично тому, что вся дробь делится на 3, что и отметил xolms.

Кстати, Madame, обращаю Ваше внимание на то, что Вы не хорошо набираете индексы. Смотрите: вы используете запись $C_2_7^4$, тогда как правильно $C_{27}^4$
Посмотрите на разницу во внешнем виде, наведите мышь на формулу, чтобы посмотреть разницу в коде.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2007, 15:43 


18/01/07
5
Спасибо большое за помощь. Не просто за решение, а именно за объяснение этого решения - спасибо.

PAV писал(а):
Кстати, Madame, обращаю Ваше внимание на то, что Вы не хорошо набираете индексы.

На самом деле, я не знала как это правильно написать, и написала как смогла, но в дальнейшем буду стараться писать правильно. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group