Из колоды карт наудачу берут шесть...

[Madame]

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, с решением следующей задачи.

Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут две пики, идущие подряд (остальные - других мастей).

Я понимаю как решить задачу без условия того, что эти две пики идут подряд:

$p = \frac {C_9^2 \cdot C_2_7^4} {C_3_6^6}$

Но вот как учесть это условие я не знаю.

Спасибо.

[Brukvalub]

Попробуйте каждую из возможных комбинаций двух идущих подряд пиковых карт рассмотреть, как склеенную из двух карт единую карту и каждый раз пересчитать вероятность по той же формуле для выбора уже четырёх оставшихся карт из 27. А потом воспользуйтесь формулой вероятности для объединения несовместных событий.

[PAV]

Я бы предложил идти другим путем. Вы посчитали количество комбинаций с двумя пиковыми без учета порядка. Шесть карт можно упорядочить ровно $6!$ способами. Т.е. если бы надо было посчитать число упорядоченных комбинаций (без дополнительного условия), то найденное Вами число следовало бы умножить на $6!$. А Вам нужно посчитать число способов упорядочить 6 карт, причем так, чтобы две заданные из них шли бы подряд. Тут действительно воспользуйтесь методом мысленного "склеивания" двух пиковых карт. Только не забудьте учесть, что их можно склеить двумя способами.

[Gordmit]

А можно еще и так решать задачу (проверьте, правильно ли):

Считаем вероятность каждого из шести раскладов:

1) пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика, не_пика;
2) не_пика, пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика;
...
6) не_пика, не_пика, не_пика, не_пика, пика, пика.

Все они не пересекаются, а вероятность каждого из них равна $\left(\dfrac14\right)^2\left(\dfrac34\right)^4=\dfrac{3^4}{4^6}$. Искомая вероятность равна их сумме, т.е. этому числу, умноженному на 6:
$6\dfrac{3^4}{2^{12}}=\dfrac{3^5}{2^{11}}=\dfrac{243}{2048}$. Это примерно 12%.

Updated: здесь ошибка: раскладов пять, а не шесть (см. далее).

[Someone]

Gordmit писал(а):

Считаем вероятность каждого из шести раскладов:

1) пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика, не_пика;
2) не_пика, пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика;
...
6) не_пика, не_пика, не_пика, не_пика, пика, пика.

Точно шести?

[Madame]

Someone писал(а):

Точно шести?

Пяти.

[Gordmit]

Someone писал(а):

Gordmit писал(а):

Считаем вероятность каждого из шести раскладов:

1) пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика, не_пика;
2) не_пика, пика, пика, не_пика, не_пика, не_пика;
...
6) не_пика, не_пика, не_пика, не_пика, пика, пика.

Точно шести?

Мда, обсчитался. Спасибо. Пять их, а не шесть
Соответственно, слегка изменится ответ: $\dfrac{5\cdot 3^4}{2^{12}}=\dfrac{405}{4096}$, что составляет около 10%.

[PAV]

Gordmit писал(а):

а вероятность каждого из них равна $\left(\dfrac14\right)^2\left(\dfrac34\right)^4=\dfrac{3^4}{4^6}$.

Сам метод хорош, но только данное утверждение неверно. Такой ответ был бы, если бы карты извлекались с возвращением. А при выборке без возвращения вероятности вытянуть пику и не-пику меняются в зависимости от того, что было до того, так как меняется состав оставшейся части колоды.

[Madame]

Спасибо за советы по решению.

Рассматривая возможные варианты появления подряд двух пик, у меня получилось следующее:

$p = \frac {C_9^2 \cdot C_2_7^4} {C_3_6^6} + \frac {C_2_7^1 \cdot C_9^2 \cdot C_2_6^3} {C_3_6^6} + \frac {C_2_7^2 \cdot C_9^2 \cdot C_2_5^2} {C_3_6^6} + \frac {C_2_7^3 \cdot C_9^2 \cdot C_2_4^1} {C_3_6^6}$

PAV писал(а):

Только не забудьте учесть, что их можно склеить двумя способами.

Вот это я не поняла. Объясните, пожалуйста.

[Brukvalub]

Если сначала появляется туз пик, а сразу за ним - валет пик, то это не то же самое, когда сначала появляется валет пик, а сразу за ним - туз пик. Иначе говоря, существенен порядок пиковых карт в их паре.

[Madame]

Brukvalub писал(а):

Если сначала появляется туз пик, а сразу за ним - валет пик, то это не то же самое, когда сначала появляется валет пик, а сразу за ним - туз пик. Иначе говоря, существенен порядок пиковых карт в их паре.

Почему существенен порядок? Ведь в условии, как я поняла, оговаривается порядок выпадения карт: точно должны быть 2 идущие подряд пики. Не оговаривается, что это будут карты по возрастанию или убыванию, просто какие-то 2 пики, любые. Или я не правильно поняла Вашу мысль?

[xolms]

$p=\frac{5*9*8*(27*26*25*24)} {36*35*34*33*32*31}$-это бонально посчитав вероятности выпадения,то есть $(\frac{9} {37-i_1})*(\frac{8} {37-i_2})*(\frac{27} {27-i_3})*...*(\frac{24} {37-i_6})$, где $i_j$- номера вытаскивания карт, и умножив на 5.(кстати можно заметить, что вероятность выпадения 2-х пик из 6-и карт в любом положении равны)
Две пики можно переставить 15-ю способами среди 6-и карт, а нужных перестановок-5, значит полученное вами число(в 1-м посте) нужно разделить на 3.(как ни странно оба числа совпадают )

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

10.8%

[PAV]

Последнее решение xolms правильное.

Я имел в виду следующее рассуждение. Количество всех наборов без учета порядка равно $C_{36}^{6}$, а наборов с двумя пиками $C_9^2\cdot C_{27}^4$.

Всего существует $6!=720$ способов упорядочить любые 6 карт. При нашем же условии мы сначала объединяем две имеющиеся у нас пики, получая 5 карт, которые уже упорядочиваем всеми возможными $5!$ способами. Но при этом первый шаг (объединение) можно сделать двумя способами, так как либо положить сначала младшую карту, затем старшую, либо наоборот.

Итого, в исходной формуле $\frac{C_9^2\cdot C_{27}^4}{C_{36}^{6}}$ нужно знаменатель умножить на $6!$, а числитель - на $2\cdot 5!$. Это аналогично тому, что вся дробь делится на 3, что и отметил xolms.

Кстати, Madame, обращаю Ваше внимание на то, что Вы не хорошо набираете индексы. Смотрите: вы используете запись $C_2_7^4$, тогда как правильно $C_{27}^4$
Посмотрите на разницу во внешнем виде, наведите мышь на формулу, чтобы посмотреть разницу в коде.

[Madame]

Спасибо большое за помощь. Не просто за решение, а именно за объяснение этого решения - спасибо.

PAV писал(а):

Кстати, Madame, обращаю Ваше внимание на то, что Вы не хорошо набираете индексы.

На самом деле, я не знала как это правильно написать, и написала как смогла, но в дальнейшем буду стараться писать правильно. Спасибо.