Конволюционное отображение (свертка, интегрируемость)

[Dan B-Yallay]

Напомните пожалуйста как доказывается след. факт:

если $ f,g \in L^1 (\mathbb {R})$ то функция

$h(t) = (def) = \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(s)g(t-s)ds $ (часто обозначается как $ f*g(t)$)

определена почти повсюду и интегрируема (в смысле Лебега)

a также $ || h||_1 \le || f||_1 ||g||_1 $

Спасибо

[RIP]

Используйте теорему Фубини

[Dan B-Yallay]

Насколько я помню Фубини идет в обратную сторону,

$ \int\limits_{- \infty}^{\infty} \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(t,s)ds dt < \infty \Longrightarrow $

$ \forall t \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(t,s)ds < \infty $ почти повсюду.

Кроме того, требуется док-во в рамках теории интеграла Лебега. То есть без Фубини.

[RIP]

Теорема Фубини - главная теорема теории интеграла Лебега. Формулировка нужного частного случая:
Если $f(x,y)$ интегрируема на $\mathbb{R}^2$, то для почти всех $x$ интеграл $\int\limits_{\mathbb{R}}f(x,y)\,dy$ определен, является интегрируемой по Лебегу функцией от $x$ и верно

$$\int\limits_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy=\int\limits_{\mathbb{R}}\left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dy\right)\,dx$$

То же самое, если $x$ и $y$ поменять ролями.

Кроме того, надо воспользоваться следствием теоремы Фубини:
Если функция $f(x,y)$ измерима и $f(x,y)\geqslant0$, то выполняется равенство

$$\int\limits_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy=\int\limits_{\mathbb{R}}\left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_{\mathbb{R}}\left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dx\right)\,dy$$

(допускаются бесконечные значения интегралов)

[Dan B-Yallay]

Если $f(x,y)$ интегрируема на $\mathbb{R}^2$,
***************************

Нам именно этy интергируемость и трeбуется доказать, исходя из интегрируемости заданных функций $f$ и $g$

Или я не совсем понимаю вашу идею?

[RIP]

Вот здесь и надо воспользоваться следствием теоремы Фубини (измеримая функция интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируем её модуль)

[Dan B-Yallay]

Наверное я плохо обьяснил или просто не выспался

У меня НЕТУ интегрируемой над $\mathbb{R}^2}$ функции поэтому теорема Фубини остается в стороне.
Есть $f,g \in L^1(\mathbb{R})$ и их конволюция
$\int\limits_{- \infty}^{\infty} f(s)g(t-s)ds $

А то что $H(t,s) = f(s)g(t-s)$ интегрируема над $\mathbb{R}^2$ надо еще потрудиться доказать.

[RIP]

Просто я плохо объяснил.
Берем измеримую функцию (измеримость надо доказать) $h(s,t)=f(s)g(t-s)$ и хотим применить к ней теорему Фубини. Но для этого надо проверить её интегрируемость. Для этого надо доказать, что

$$\int\limits_{\mathbb{R}^2}|h(s,t)|\,ds\,dt<\infty$$

Добавлено спустя 2 минуты 27 секунд:

P.S. А откуда такой термин "конволюция"? Обычно это называеся "свёртка".

[Dan B-Yallay]

Берем измеримую функцию (измеримость надо доказать)
************************************

Так я про это доказательство и спрашиваю


свертка = convolution (в англоязычной литературе. Перевел как смог

http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

***************************************************
Но для этого надо проверить её интегрируемость. Для этого надо доказать, что

$$\int\limits_{\mathbb{R}^2}|h(s,t)|\,ds\,dt<\infty$$

*********************************************
И это доказательство тоже ищу:)

[RIP]

Измеримость доказывается так: произведение измеримых функций измеримо, поэтому достаточно доказать измеримость 2 функций $f(s)$ и $g(s-t)$ (относительно плоской меры Лебега). Это доказывается по определению, используя измеримость функций $f$ и $g$.

Добавлено спустя 8 минут 56 секунд:

Dan B-Yallay писал(а):

Но для этого надо проверить её интегрируемость. Для этого надо доказать, что

$$\int\limits_{\mathbb{R}^2}|h(s,t)|\,ds\,dt<\infty$$

*********************************************
И это доказательство тоже ищу:)

Используя следствие теоремы Фубини, предлагаю проверить, что

$$\int\limits_{\mathbb{R}^2}|h(s,t)|\,ds\,dt=\|f\|_1\|g\|_1<\infty$$

[Dan B-Yallay]

Dan B-Yallay писал(а):

Но для этого надо проверить её интегрируемость. Для этого надо доказать, что

$$\int\limits_{\mathbb{R}^2}|h(s,t)|\,ds\,dt<\infty$$

*********************************************
И это доказательство тоже ищу

Используя следствие теоремы Фубини, предлагаю проверить, что

$$\int\limits_{\mathbb{R}^2}|h(s,t)|\,ds\,dt=\|f\|_1\|g\|_1<\infty$$

А как использовать следствие ТФ если я еще не доказал, что она применима в данном случае.?
Прошу прощения за свое тугодумие

[RIP]

Мне кажется, Вы путаете понятия "измеримость" и "интегрируемость". Все условия применимости следствия выполнены. Там не требуется конечность интеграла.

[Dan B-Yallay]

Там не требуется конечность интеграла.

Как раз требуется:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini's_theorem

А в теореме Тонелли - нет.

[RIP]

Не знал, что это теорема Тонелли. Вот ей и надо воспользоваться.

[Dan B-Yallay]

http://www.math.unl.edu/~s-bbockel1/921 ... eorem.html

Тонелли только лишь даст мне измеримость свертки. Мне нужна интегрируемость
(см. мой начальный пост)