Я "копал" в другом направлении, в сторону топологии, а не алгебры и "откопал" такую задачу.
Пусть, как и прежде, ряд

сходится и составлен из положительных чисел. Пусть

- множество сумм всех его подпоследовательностей, но на этот раз допускаются конечные суммы и число

как сумма "пустого ряда", т.е.
(Основная задача). Докажите, что

- всегда замкнутое множество.
(Несложно). Покажите, что условие сходимости исходного ряда является для существенным для замкнутости

, т.е. приведите пример расходящегося ряда, для которого множество

сумм всех сходящихся под-рядов и конечных подпоследовательностей не является замкнутым.
(Чуть сложнее). Каким может быть множество

, соответствующее расходящемуся ряду, в котором

при

?
(Как бонус). Какое множество

соответствует ряду

?