Точная верхняя грань, верхняя грань, максимальный элемент

[obezyan]

Не допонимаю этих понятий.
Везде говорится, что точнаяя верхняя грань - минимальная из всех верхних граней.. но где смотрел (в частности вот здесь: Точная верхняя грань) - не приводится примера, когда верхних граней - несколько, а выбираем только одну.
И соответственно на википедии же сказано, что точная верхняя грань в R всегда существует для ограниченного множества, в отличии от максимального и минимального элемента. Как это понимать?
Т.е. можно ли пример, когда есть несколько верхних граней, из множества верхних граней выбирается одна верхняя грань и при этом не существует максимального элемента?
Или нет такого достаточно простого примера и вполне можно считать, что все это - одни и те же понятния?

А и еще.. существенная верхняя грань - это точная верхняя грань? Это все из определения $ L_\infty $.

[ИСН]

Верхних граней сколько угодно. Всё, что выше какой-нибудь верхней грани, это тоже верхняя грань.
А максимального (и минимального) элемента не существует, например, у интервала. Супремум вот он, а максимум - увы.

[obezyan]

если их сколько угодно, то взять полуинтервал:
[0,1)
что - точная верхняя грань у него - 0?

[PAV]

Интервал $(0,1)$.

Верхняя грань - любое число $x\ge 1$

Точная верхняя грань 1

Максимального элемента не существует.

[obezyan]

а.. понял..
верхняя грань для множества, но браться оно может из пространства, в котором находится это множество.. и не обязательно из самого множества..
спасибо..

[RIP]

obezyan писал(а):

А и еще.. существенная верхняя грань - это точная верхняя грань? Это все из определения $ L_\infty $.

Измеримая функция $f(x)$ называется существенно ограниченной (пишут $f\in L_{\infty}(X,\mu)$, где $\mu$ - мера Лебега на измеримом пространстве $X$), если существует постоянная $C\ge0$ такая, что для почти всех $x\in X$ выполняется неравенство $|f(x)|\le C$. В таком случае наименьшая из таких постоянных называется существенной верхней гранью для функции $f$ и обозначается $\|f\|_{\infty}$.

P.S. Я могу ошибаться в деталях (просьба поправить меня, если это так), но смысл такой.

Добавлено спустя 14 минут 45 секунд:

Например, если рассмотреть функцию

$$f(x)=\begin{cases}x,&x\in\mathbb{Q};\\0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\end{cases}$$

то функция $f$ не будет ограниченной на $\mathbb{R}$, но будет существенно ограниченной на $\mathbb{R}$ (т.к. $f(x)=0$ почти всюду) и $\|f\|_{\infty}=0$