решение дифура рядами Фурье.

[dikiy]

В общем есть дифур для натянутой квадратной мембраны.

$u''_{tt}=c^2(u''_{xx}+u''_{yy})$

решение дифура получаем в виде:

$u_{m n}=(A\cos{h_{mn}t}+B\sin{h_{mn}t})\sin{n x}\sin{m x}$

кроме этого заданы начальные условия - положение мембраны и ее начальная скорость.

$u(x,y,0)=f(x,y)$ и $u'_t(x,y,0)=g(x,y)$

решение проблемы ищем в виде двойного ряда Фурье:

$u(x,y,t) = \sum_{m,n}^{\infty} (A_{m n}\cos{h_{mn}t}+B_{m n}\sin{h_{mn}t})\sin{n x}\sin{m x}$

уже несколько дней не могу нормально решить эту задачу.

Не получается доказать, что полученная таким образом функция u(x,y,t) будет удовлетворять дифуру. Даже не смотря на то, что я просто принял как за уже доказанное, что двойные ряды разложения f(x,y) и g(x,y) сходятся.

Помогите, пожалуйста, советом.

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Не получается доказать, что полученная таким образом функция u(x,y,t) будет удовлетворять дифуру. Даже не смотря на то, что я просто принял как за уже доказанное, что двойные ряды разложения f(x,y) и g(x,y) сходятся.

Естественно ваша функция удовлетворять диффуру не может, так как от $y$ не зависит
Может имеет смысл написать $\sin my$ вместо $\sin mx$?
Это я так, не вникая в суть пока еще...

[dikiy]

блин. Конечно, я описался. Должно быть $\sin my$. Ну и заодно уточню, что считаем, что мембрана натянута на квадрат $[0,\pi]\times[0,\pi]$


я попробовал доказать хотя бы дифференцируемость данного ряда. Но уже на этом этапе я запутался совсем с теоремами, поточечной/равномерной сходимостью и т.п.

[Dan B-Yallay]

Я давно Тихонова-Самарского не открывал и естественно ... Приду с идеей попозже или кто из умф гуру Вам раньше чего подскажет.

[Vince Diesel]

Каждый член исправленной суммы будет удовлетворятm уравнению при $h_{mn}=m^2+n^2$.

[dikiy]

Vince Diesel в сообщении #576517 писал(а):

Каждый член исправленной суммы будет удовлетворятm уравнению при $h_{mn}=m^2+n^2$.

да, точно. Я забыл в топике $h_{mn}$ определить. Но все равно, это мне никак не помогает.

[dikiy]

Цитата:

да, точно. Я забыл в топике $h_{mn}$ определить. Но все равно, это мне никак не помогает.

$h_{mn} = \sqrt {m^2+n^2}$

//fixed