Исследовать интеграл на сходимость

[Mannimarco]

Нужно исследовать на сходимость интеграл.
$\int_{0}^{+\infty} \ln(1+x)/x^{(3/2)}{d}x$

Как я понял, нужно разбить интеграл на две части:
$\int_{0}^{+\infty} \ln(1+x)/x^{(3/2)}{d}x = \int_{0}^{1} \ln(1+x)/x^{(3/2)}{d}x + \int_{1}^{+\infty} \ln(1+x)/x^{(3/2)}{d}x$

А что делать дальше?

[Someone]

Использовать признаки сходимости.

[Mannimarco]

Someone в сообщении #576371 писал(а):

Использовать признаки сходимости.

Можно несколько подробнее? Такую вещь я и сам понимаю.

[Someone]

Дык, берёте признак сравнения и сравниваете Ваши интегралы с подходящими известными интегралами.

[Mannimarco]

Someone в сообщении #576378 писал(а):

Дык, берёте признак сравнения и сравниваете Ваши интегралы с подходящими известными интегралами.

Я все таки хотел бы попросить хотя бы начало решения для конкретно этого примера, поскольку я очень туго справляюсь с переносом теории на практику. :)

[ewert]

Mannimarco в сообщении #576384 писал(а):

хотя бы начало решения для конкретно этого примера,

Хорошо, давайте попытаемся начать. Для первого интеграла (полученного из предусмотрительно разбитого Вами на два кусочка исходного) особая точка -- ноль, а всё остальное не имеет значения. Для второго -- аналогично, лишь бесконечность.

Итак, вопрос в студию (даже три вопроса):

- чему эквивалентно поведение подынтегральной функции в окрестности нуля?...

- чему аналогично в окрестности бесконечности?...

- что можно сказать про сходимость интеграла после замены подынтегральной функции на эквивалентную?...

[samson4747]

Хочется ещё отметить, что Вы явно ведь изучали:

$\displaystyle\int\limits_{0}^{a}\dfrac{dx}{x^{\mu}},\,a\in\mathbb R$ сходится при $\mu<1$ и расходится при $\mu\geqslant1$;

$\displaystyle\int\limits_{a}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^{\mu}},\,a\in\mathbb R$ сходится при $\mu>1$ и расходится при $\mu\leqslant1$.

Откуда, при должном опыте практики, у Вас должны получиться оценки для решения и понимания вашего примера.

[Mannimarco]

О, samson4747 , вот Вы мне очень помогли. Теперь я понял что мне делать. Спасибо.