"Неизменяемый" определитель

[nov]

Известно, что если в некотором определителе 3 – го порядка (все элементы которого не равны между собой), поменять местами любые два элемента в любой строке (это действие можно выполнить 1 раз), то значение определителя не изменится. Чему может быть равен такой определитель?

[mihiv]

Пусть $d$ исходный определитель,переставим в нем первые два элемента первой строки,полученный определитель обозначим $d_1$.По условию

$$d=d_1\qquad (1)$$

.В равенстве (1) переставим в определителе $d$ первые два элемента второй строки,т.к. определитель -линейная функция элементов строки,для сохранения равенства нужно переставить соответствующие элементы в определителе $d_1$.Получим

$$d=d_2$$

Определитель $d_2$ получен из $d$ перестановкой первых двух элементов в первой и второй строках,аналогично,переставляя в определителе $d$ первые два элемента третьей строки, получим

$$d=d_3$$

Но $d_3$ отличается от $d$ перестановкой двух первых столбцов,отсюда $d=0$.

[nov]

Но определитель d3 получается из d перестановкой 3х элементов (и нет гарантии, что уже для d1 условие задачи будет выполняться)

-- Пт май 25, 2012 22:56:12 --

Но определитель d3 получается из d перестановкой 3х элементов (и нет гарантии, что уже для d1 условие задачи будет выполняться)

[mihiv]

nov в сообщении #576308 писал(а):

Но определитель d3 получается из d перестановкой 3х элементов (и нет гарантии, что уже для d1 условие задачи будет выполняться)

В левой части каждого из трех равенств стоит определитель $d$,в котором переставляются два элемента,что допустимо по условию,а в силу линейности определителя должны переставляться и соответствующие элементы в правой части равенства.

[nov]

mihiv в сообщении #576295 писал(а):

В равенстве (1) переставим в определителе первые два элемента второй строки,т.к. определитель -линейная функция элементов строки,для сохранения равенства нужно переставить соответствующие элементы в определителе

Как мне кажется, здесь уважаемый mihiv неявно использует неверный в общем случае факт - если равны значения двух определителей (но не сами таблицы), то после одновременной перестановки соответствующих элементов - равенство не сохранится.

[staric]

Хорошо, совсем просто.
Если при перемене 1-го и 2-го неравных элементов строки определитель не меняется, сумма соответствующих доп.миноров равна 0. Поэтому $\frac{a_{32}+a_{31}}{a_{33}}=\frac{a_{22}+a_{21}}{a_{23}}=\frac{a_{12}+a_{11}}{a_{13}}$

[nov]

staric в сообщении #576535 писал(а):

Хорошо, совсем просто.
Если при перемене 1-го и 2-го неравных элементов строки определитель не меняется, сумма соответствующих доп.миноров равна 0. Поэтому $\frac{a_{32}+a_{31}}{a_{33}}=\frac{a_{22}+a_{21}}{a_{23}}=\frac{a_{12}+a_{11}}{a_{13}}$

Осмелюсь возразить еще раз. Если при перестановке двух неравных элементов в строке определитель не изменяется, то из этого следует, что алгебраические дополнения (доп.миноры?) к этим элементам равны, но не более того.

[ewert]

Утверждение. Пусть сумма $\sum\limits_{k=1}^na_kb_k$ не меняется при перестановке любых двух $a_k$. Тогда все $a_k$ одинаковы или все $b_k$ одинаковы.

Доказывается довольно очевидно по индукции.

Следствие. Если определитель порядка $n\geqslant3$ не меняется при перестановке любых двух элементов в любой строке, то он равен нулю (поскольку или как минимум две строки у него самого пропорциональны, или пропорциональны как минимум две строки алгебраических дополнений).

(для $n=2$ утверждение тоже верно, но уже тривиально)

[nov]

Полностью согласен с заслуженным участником ewert. Привожу свое решение. Запишем разложение по некоторой строке исходного определителя, и определителя, полученного перестановкой элементов в этой строке. Из их равенства легко получить, что в этом случае все алгебраические дополнения к элементам одной строки равны между собой. Предположим, что определитель не равен 0, тогда соответствующая квадратная матрица имеет обратную, но очевидно, что столбцы обратной матрицы пропорциональны, то есть она вырождена. Получили противоречие, следовательно, такой определитель равен 0.

[staric]

nov в сообщении #576683 писал(а):

Если при перестановке двух неравных элементов в строке определитель не изменяется, то из этого следует, что алгебраические дополнения (доп.миноры?) к этим элементам равны.

Алгебраические дополнения - это доп.миноры с соотв.знаком, так что равенство АД к соседним элементам строки - то же, что равенство суммы доп.миноров нулю. Из равенства первых двух АД элементарно получаем первое равенство, из 2-го и 3-го - второе.