Исследовать на сходимость

[Unconnected]

$\int_{0}^{1} x^pln^q(\frac{1}{x})=\int_{0}^{0.5} x^pln^q(\frac{1}{x})+\int_{0.5}^{1} x^pln^q(\frac{1}{x})$

В первом слагаемом - стоит взять $\lim_{x \to 0} \frac{x^pln^q(\frac{1}{x})}{\frac{1}{(0-x^{-p+1})}}$ ? Просто тут непонятно, в зависимости от параметра в нуле может быть или не быть уход в бесконечности..

И да, по поводу признака: написано, что если $f(x)=O (\frac{1}{x^p}), x \to \infty$, то сходится или расходится... так вот, если $f(x)=o (\frac{1}{x^p}) ,x \to \infty$, это тоже считается?

[ewert]

Unconnected в сообщении #575949 писал(а):

написано, что если $f(x)=O (\frac{1}{x^p}), x \to \infty$, то сходится или расходится...

Неправильно написано: символ "О большое" никто в таком смысле не употребляет. Надо говорить не о степенных оценках, а об эквивалентности степенному поведению.

В нуле: если степень икса не равна минус единичке, то именно она и определяет сходимость (логарифм всегда можно погасить маленьким кусочком той степени -- настолько маленьким, чтобы не перешагнуть при откусывании через минус единичку). Если же степень равна минус единичке, то очевидная замена убирает логарифм.

В единице -- универсальный приём: надо сделать линейную замену, переводящую эту единицу в ноль, после чего в окрестности ноля подынтегральное выражение окажется эквивалентным чисто степенному.

[Unconnected]

Цитата:

Неправильно написано: символ "О большое" никто в таком смысле не употребляет.

Ну это в Демидовиче такое.. и как тогда признак выглядит правильно? Вот делим $\frac{|f(x)|}{|\frac{1}{x^p}|}=C$, если $C$ конечно, то функции сходятся-расходятся одновременно, ну а С=0 может быть? Точнее, для нуля будет эта одновременность?

[bot]

Unconnected в сообщении #575949 писал(а):

И да, по поводу признака: написано, что если $f(x)=O (\frac{1}{x^p}), x \to \infty$, то сходится или расходится...

Unconnected в сообщении #576207 писал(а):

Ну это в Демидовиче такое..

Поклёп на Демидовича. У него не $O$, а $O^*$ -это не одно и то же.

[Unconnected]

и что же это за $O^*$ ?

[Unconnected]

Вот проверяю хотя бы на [0,0.5]: $\lim_{x \to 0-}\frac{x^pln^q(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x^{-p}}}=\lim_{x \to 0-}ln^q(\frac{1}{x})$, и он будет конечным только при $q<0$, вот в этом с ответом не сходится ($p$ нашлось при исследовании на втором интервале). Или, может, возможно поделить поудачнее, чтобы конечный предел существовал и при других q?