Вопрос по теории симплекс-метода

[solveMe]

Разбираюсь с одним учебником, и не могу понять следующий момент:
Если дана задача ЛП:

$(c,x)\to \max, Ax=b, x\ge 0$
где
$x\in \{x_1,...,x_n\}\in R^n, $
$c\in \{c_1,...,c_n\}\in R^n, $
$b\in \{b_1,...,b_m\}\in R^m,$

то базисным планом будет точка $x\in \{x_1,...,x_m,0,...,0\}$ ($x_i\ge0, i\in \{1,...,m\}$ количество нулей n-m). Причем компонентам $x_i$ будут соответствовать линейно независимые столбцы матрицы $A: A_1,...,A_m$, которые называются базисом этого базисного плана.
Так же говорится, что базисные планы принадлежат множеству допустимых планов, которое, в свою очередь, образует полиэдр $\Omega=\{x\in R^n | Ax=b, x\ge 0\}$.

Так вот непонятно мне имеет ли этот базис какое-то отношение к привычному для меня понятию базиса (т.е. множество линейно независимых векторов). Если да, то как m векторов могут быть базисом пространства $\mathbb{R}^n, m\le n$. Мне кажется здесь опечатка и везде должно фигурировать $\mathbb{R}^m$. А количество переменных = n связано с вводом дополнительных небазисных переменных для приведения задачи к каноническому виду. Правильны ли мои суждения?

В попытках разобраться пытался доказать следующее утверждение из того же учебника:
в геометрическом смысле, базисный план является вершиной полиэдра
Я попробовал так:
Вершина полиэдра это точка в которой пересекаются несколько гиперплоскостей , следовательно если будут выполнены ограничения-равенства:

$a_{11}x_1+...+a_{1m}x_m+v_1+...+v_k=b_1$
...
$a_{m1}x_1+...+a_{mm}x_m+v_1+...+v_k=b_m$

То точка, с координатами, удовлетворяющими эти уравнениям будет являться вершиной при пересечении m гиперплоскостей. При этом небазисные переменные, введенные для получения ограничения-равенства из ограничения-неравенства (т.е. приведения к каноническому виду), можно обратить в нуль расписав их как линейную комбинацию базисных $v_i=\alpha_ix_1+\beta_ix_2$ (не знаю корректно ли говорить о линейной комбинации переменных?) и расписав таким образом каждую небазисную переменную получим что-то подобное:

$(a_{11}+\gamma_{11})x_1+...+(a_{11}+\gamma_{1m})x_m+0\cdot v_1+...+0\cdot v_k=b_1$

Подозреваю, что занулять небазисные переменные нужно не просто расписав их указанным образом, а аналогично тому, как это делается, при понижении степени определителей. И видимо для этого необходимо условие линейно-независимости столбцов матрицы $A: A_1,...,A_m$, стоящих при базисных переменных.

[мат-ламер]

solveMe в сообщении #575605 писал(а):

Так вот непонятно мне имеет ли этот базис какое-то отношение к привычному для меня понятию базиса

То что Вы тут неправильно назвали "этот базис" перед этим совершенно правильно зовёте базисным планом. Это один вектор. А базис - это несколько векторов.

[solveMe]

Я немного иное имел ввиду. Под "этим базисом" я имел ввиду

Цитата:

линейно независимые столбцы матрицы $A: A_1,...,A_m$, которые называются базисом этого базисного плана.

Я застрял на мысли, что данные столбцы не есть вектора, заданного пространства (в отличие от строк при базисных переменных), а следовательно и базисом быть не могут. Подскажите пожалуйста где ошибка.

[мат-ламер]

solveMe в сообщении #576159 писал(а):

Я застрял на мысли, что данные столбцы не есть вектора, заданного пространства

Эти столбцы будут базисом в простанстве векторов, которое порождается столбцами матрицы.

[solveMe]

Т.е. помимо перехода от одного базиса к другому мы также переходим от одного пространства к другому? Я правильно Вас понял? А как тогда такой вектор-столбец будет расписываться по ортам пространства? Вот допустим для строки все понятно, есть m базисных переменных, которые по идее являются осями координат для пространства $\mathbb{R}^m$, и тогда вектор-строка представляется в виде :

$a_{1}\overrightarrow{i_{x_1}}+...+a_{m}\overrightarrow{i_{x_m}}$

Что касается вектора-столбца, то все его компоненты стоят при одной переменной, и поэтому мне непонятно как он вообще может быть вектором? Попутный вопрос что значит буква Т при записи базисного плана: $x={(x_1,...,x_n)}^T$. Встретил такую запись в книжке, да и на форуме тоже встречается.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

solveMe. Скажу честно. После университета с симплекс-методом не сталкивался. Задачи ЛП приходилось решать методом внутренней точки. Вряд ли я Вам помогу.

[solveMe]

В любом случае спасибо за уделенное время.