Смесь нормальных распределений

[CBst]

Здравствуйте.

Есть смесь нормальных распределений с функцией плотности:

$$f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac {e^{-\lambda} \lambda^n} {n!}} \frac {1} {\sqrt{2 \pi (\sigma_1^2 +n \cdot \sigma_2^2)}}e^{-\frac {1} {2}\frac {(x-n \mu)^2} {(\sigma_1^2 + n \sigma^2_2)}}$$

То есть Пуассоновская смесь. Ее моменты, второй и четвертый центральные, равны соответственно $V=\sigma ^2_1 + \lambda (\mu^2 + \sigma_2^2)$ и $K=\lambda (\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2_2 + 3 \sigma_2^4)$.

Нужно показать, что коэффициент эксцесса больше трех. Как это сделать? Если просто его выписать, то получается:

$$\frac {\lambda \mu^4 + 6 \lambda \mu^2 \sigma^2_2 + 3 \lambda \sigma^4_2} {\sigma_1^4 + 2 \lambda \sigma_1^2 \mu^2 + 2 \lambda \sigma_1^2 \sigma _2^2 + \lambda^2 \mu^4 + 2 \lambda^2 \mu^2 \sigma^2_2 + \lambda^2 \sigma^4_2}>3$$

.

Как показать, что неравенство выполняется? Спасибо.

Формула окружается долларами: $ (формула) $, согласно синтаксису $\TeX$'a. Тэги [mаth] расставлять самому не надо.
Исправил.

[zhoraster]

Неравенство, которое Вы хотите доказать, неверно (это понятно, если устремить $\lambda$ к бесконечности). Я думаю, что условие правильное: похоже на то, что у этого распределения хвосты тяжелее гауссовских. Так что, скорее всего, коэффициент эксцесса Вами посчитан неправильно.

[CBst]

zhoraster в сообщении #575447 писал(а):

Неравенство, которое Вы хотите доказать, неверно (это понятно, если устремить $\lambda$ к бесконечности). Я думаю, что условие правильное: похоже на то, что у этого распределения хвосты тяжелее гауссовских. Так что, скорее всего, коэффициент эксцесса Вами посчитан неправильно.

Действительно, сорри. Это начальные же моменты. Сейчас исправлю.

PS: а нет, центральные... все верно вроде.

-- 24.05.2012, 09:16 --

zhoraster в сообщении #575447 писал(а):

Неравенство, которое Вы хотите доказать, неверно (это понятно, если устремить $\lambda$ к бесконечности). Я думаю, что условие правильное: похоже на то, что у этого распределения хвосты тяжелее гауссовских. Так что, скорее всего, коэффициент эксцесса Вами посчитан неправильно.

Я вот думаю, весь смесь нормальных распределений тоже нормальна, если у смешиваемых распределений мат. ожидания равны. Тут же мат. ожидания различаются.

PS: Сгенерировал в Экселе 22762 пары нормальных наблюдений с разными мат. ожиданиями (существенно разными) и не очень разными дисперсиями. Смешал. Коэффициент эксцесса получился равным нулю.
Данную инфу (о том, что спесь Пуассоновская имеет лептокуртосис (выше трех)) нашел в одной старой научной статье 1967 года. Часто можно встретить ошибки подобные? Или все-таки я тут что-то туплю?

PPS: Не могу отредактировать первый пост. Там сумма не от i=1, а от n=0.

[zhoraster]

CBst в сообщении #575450 писал(а):

Я вот думаю, весь смесь нормальных распределений тоже нормальна, если у смешиваемых распределений мат. ожидания равны.

Это неверно. Может, Вы перепутали смесь с суммой?

[ИСН]

Вот-вот. Сумма нормальна всегда, хоть там равны матожидания, хоть нет. Смесь - никогда, кроме вырожденных случаев.

[CBst]

zhoraster в сообщении #575463 писал(а):

CBst в сообщении #575450 писал(а):

Я вот думаю, весь смесь нормальных распределений тоже нормальна, если у смешиваемых распределений мат. ожидания равны.

Это неверно. Может, Вы перепутали смесь с суммой?

Видимо да.
Я думал, почему-то, что случайная величина $0,5X+0,5Y$ имеет распределение $0,5f(x)+0,5f(y)$. Литературу посоветуйте пожалуйста.

[Евгений Машеров]

Цитата:

Я вот думаю, весь смесь нормальных распределений тоже нормальна, если у смешиваемых распределений мат. ожидания равны.

Это неверно. Собственно, одна из самых популярных в практике моделей "тяжелохвостых распределений" это смесь двух нормальных с одинаковым МО и разными дисперсиями.

[--mS--]

CBst в сообщении #575450 писал(а):

PS: а нет, центральные... все верно вроде.

Ну, не знаю. У меня четвёртый центральный момент получается ($\xi \sim \textrm N_{0,\sigma_1^2}$, $\nu\sim \Pi_\lambda$, $S_\nu=\xi_1+\ldots+\xi_\nu$, $\xi_i\sim\textrm N_{\mu, \sigma_2^2}$, все независимы)

$$\mathsf E(\xi+S_\nu - \lambda\mu)^4 = 3\sigma_1^4 + 6\sigma_1^2\lambda(\sigma_2^2+\mu^2)+3\sigma_2^2(\lambda^2+\lambda)(\sigma_2^2+2\mu^2)+\mu^4(3\lambda^2+\lambda).$$

Конечно, тоже могла ошибиться, но Ваш центральный 4-й момент даже четвёртого момента $\xi$ не содержит, чего не может быть.

Кстати, с таким 4-м центральным моментом неравенство для эксцесса очевидно.

Наверное, проще считать старшие моменты через производные характеристической функции

$$\varphi_{\xi+S_\nu}(t) = \exp\left\{-\frac{t^2\sigma_1^2}{2}+\lambda\left(e^{it\mu}e^{-\frac{t^2\sigma_2^2}{2}}-1\right) \right\}.$$