Симметрические функции

[Spandei]

Используя элементарные симметрические функции, найти полином четвёртой степени, корнями которого являются квадраты комплексных корней полинома$x^4+2x^3-x+3$.
Мое решение:
Обозначим корни полинома как $x_1,x_2,x_3,x_4$. Тогда симметрические функции:
$\sigma_1=x_1+x_2+x_3+x_4=-2$,
$\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=0$,
$\sigma_3=x_1x_2x_3+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=1$,
$\sigma_4=x_1x_2x_3x_4=3$.
Найдем симметрические функции искомого полинома и из них построим его.
$\sigma_4 '=x_1^2 x_2^2 x_3^2 x_4^2=\sigma_4^2=9$

$\sigma_1 '=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=S_2=S_1 \sigma_1-2 \sigma_2=(-2)(-2)-2 \cdot 0=4$
${\sigma_1 '}^2=S_4+2 \sigma_2 '$
$S_3=S_2 \sigma_1 - S_1 \sigma_2 + 3 \sigma_3=4 \cdot (-2) - (-2) \cdot 0 + 3 = -5$
$S_4=S_3 \sigma_1 - S_2 \sigma_2 + S_1 \sigma_3 - 4 \sigma_4 = (-5) \cdot (-2) - 4 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 20$
$2 \sigma_2 '= {\sigma_1 '}^2-S_4=16-20=4$
$\sigma_2 '=2$
Проблема в нахождении $\sigma_3 '$. Как не пытался выразить через $S$, $\sigma$ или $\sigma '$ , уже известные нам, не получилось.
Она должна иметь вид $\sigma_3 ' = x_1^2x_2^2x_3^2+x_1^2x_3^2x_4^2+x_2^2x_3^2x_4^2$.
Может, есть какие идеи как выразить или другой способ найти $\sigma_3$?

[Spandei]

Немного ошибся, в $\sigma_3$ и $\sigma_3'$ будет 4 элемента, а не 3
$\sigma_3=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=1$
$\sigma_3 '=(x_1x_2x_3)^2+(x_1x_2x_4)^2+(x_1x_3x_4)^2+(x_2x_3x_4)^2$
Тогда $\sigma_3^2=\sigma_3 '+\sigma_2 \sigma_4$, и все хорошо!
Ура!