Сходимости случайных величин

[max(Im)]

Известно, что последовательность случайных величин $\xi_n$ сходится по распределению к случайной величине $\xi,$ а последовательность случайных величин $\eta_n$ сходится по вероятности к 0. Вопрос -- как показать, что случайные величины $\xi_n\cdot \eta_n$ сходятся по вероятности к 0.

То есть нужно показать, что для всех $\varepsilon >0$ $P(|\xi_n\eta_n|>\varepsilon) \to 0$ при $n \to \infty.$ Условия на $\eta_n$ видимо, не достаточно. Подскажите, что следует предпринять?

[--mS--]

Условий достаточно. Ну как - разбейте событие под знаком вероятности по полной группе событий $\{|\eta_n|\leqslant\varepsilon/2\}$ и $\{|\eta_n|>\varepsilon/2\}$, и оценивайте сверху каждое слагаемое в отдельности используя монотонность вероятности.

-- Ср май 23, 2012 20:22:12 --

Нет, пополам плохо - лучше не $\varepsilon/2$, а $\varepsilon/M$, потом выбором $M$ будет можно управлять одним из слагаемых.

[max(Im)]

Хорошо, вот я расписал:

$$P(|\xi_n\eta_n|>\varepsilon)= P\left(|\xi_n\eta_n|>\varepsilon , |\eta_n|\leqslant \varepsilon / M\right) + P\left(|\xi_n\eta_n|>\varepsilon ,|\eta_n|> \varepsilon / M\right) $$

Со вторым понятно, что делать. Рассмотрим первую вероятность.
$\varepsilon < |\xi_n\eta_n|\leqslant|\xi_n|\varepsilon / M,$ то есть $|\xi_n| > M.$ Не понятно, как это оценить...

[--mS--]

А если бы вместо $\mathsf P(|\xi_n|>M)$ было $\mathsf P(|\xi|>M)$, было бы понятно, что делать с этой вероятностью?

[max(Im)]

Нет. Это константа, которая, кажется, не дает всей сумме стремиться к 0. Причем вне зависимости от $M.$

[--mS--]

Н-да. Это не константа, а функция от $M$. Что-нибудь о поведении функций распределения на бесконечности Вам известно?

[max(Im)]

Но все-таки $P(|\xi|>M)$ -- это константа, или $\varepsilon$ тоже не константа? Мы его ж наперед задаем, от $n$ оно ($M$) точно не зависит.
Ну да неважно. Да, мне известны свойства функций распределения, однако
мне не понятно, почему всегда найдется $M$ такое, что $P(|\xi_n|\leqslant M)=1.$ Да, возможно это тривиальный вопрос... Но все же..

Хорошо, я понимаю, что функция распределения на бесконечности стремится к 1, но нам нужно выбрать это $M$ одно для всех $n.$ При этом надо либо $P(|\xi_n|\leqslant M)=1,$ либо $P(|\xi_n|\leqslant M)\to 1$ при стремлении $n\to\infty.$ Как это формально сделать?

[--mS--]

А зачем Вам выбирать такое $M$, чтобы что-то было для всех $n$? При (почти) каждом $M$ что-то происходит с $\mathsf P(|\xi_n|>M)$ с ростом $n$ (см. условие), а избавившись от $n$, можно начинать менять $M$.