Теория вероятностей, доказательство

[never-sleep]

Доказать, что если случайные события $A$ и $B$ - несовместные, и их вероятности равны нулю, то они - зависимы.

Я пробовал так --

Несовместные, значит $P(A+B)=P(A)+P(B)$

Зависимые - значит $P(A\cdot B)\ne P(A)\cdot P(B)$

[gris]

Чуть-чуть наоборот. Если события несовместны, то независимыми они будут если и только если вероятность хотя бы одного из них равна нулю. Где-то пропущено "не".

[ewert]

never-sleep в сообщении #575074 писал(а):

Зависимые - значит $P(A\cdot B)\ne P(A)\cdot P(B)$

Вот и доказывайте в лоб, исходя из несовместности. Только сначала исправьте это:

never-sleep в сообщении #575074 писал(а):

и их вероятности равны нулю,

[never-sleep]

ewert в сообщении #575080 писал(а):

never-sleep в сообщении #575074 писал(а):

Зависимые - значит $P(A\cdot B)\ne P(A)\cdot P(B)$

Вот и доказывайте в лоб, исходя из несовместности. Только сначала исправьте это:

never-sleep в сообщении #575074 писал(а):

и их вероятности равны нулю,

А что именно исправить?

[--mS--]

never-sleep в сообщении #575088 писал(а):

А что именно исправить?

gris в сообщении #575079 писал(а):

Чуть-чуть наоборот. Если события несовместны, то независимыми они будут если и только если вероятность хотя бы одного из них равна нулю. Где-то пропущено "не".

[never-sleep]

Докажите, что если случайные события А и В несовместны и имеют ненулевую вероятность, то они зависимы.


Вот теперь точная формулировка.

Попытка доказательства:

$P(A)\ne 0$, $P(B)\ne 0$

Для несовместных событий $P(A\cdot B)=0$, а значит $P(A\cdot B)\ne P(A)\cdot P(B)$

Верно ли это? Мне кажется - что это как-то нелепо. Нужно ли обосновывать - почему $P(A\cdot B)=0$ или нет? Если да - то как?

[--mS--]

Определение несовместных событий дайте.

[never-sleep]

--mS-- в сообщении #576783 писал(а):

Определение несовместных событий дайте.

События $A$ и $B$несовместны, если $P(A+B)=P(A)+P(B)$

Для совместных событий $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B)$

Значит $P(A\cdot B)=0$

ТАк?

[ewert]

never-sleep в сообщении #576811 писал(а):

События $A$ и $B$несовместны, если $P(A+B)=P(A)+P(B)$

Для совместных событий $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B)$

Значит $P(A\cdot B)=0$

ТАк?

Нет, не ТАк. Логика категорически отсутствует. Всё в точности наоборот:

"Если события $A$ и $B$ несовместны, то $P(A+B)=P(A)+P(B)$"

[--mS--]

Никогда не поверю, что в курсе не было определения несовместности двух событий. Зато, увы, легко верится в существование студентов, берущихся решать задачи не зная определений

[never-sleep]

--mS-- в сообщении #576827 писал(а):

Никогда не поверю, что в курсе не было определения несовместности двух событий. Зато, увы, легко верится в существование студентов, берущихся решать задачи не зная определений

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого

[never-sleep]

события называются несовместимыми, если они попарно не пересекаются, то есть $A_i \cap A_j = \emptyset,\; i\not= j$

[--mS--]

Ну, последнее определение для попарной несовместности нескольких событий. Для двух несовместность означает, что $A\cap B=\varnothing$. Чему равна вероятность этого пересечения, тепеь должно быть очевидно.

[never-sleep]

--mS-- в сообщении #576966 писал(а):

Ну, последнее определение для попарной несовместности нескольких событий. Для двух несовместность означает, что $A\cap B=\varnothing$. Чему равна вероятность этого пересечения, тепеь должно быть очевидно.

Нулю