Проверьте пожалуйста задачку

[NeBotan]

Добрый день всем!

Решил задачу, а преподаватель говорит, что она решена неверно. Объяснять, что именно решено неправильно, отказался, задачу не принял. Посмотрите пожалуйста, где я ошибся?

Условие задачи: используя правило множителей Лагранжа, найти решение задачи:
$\left\{\begin{matrix} x^2+3y^2\rightarrow extr\\ x+y\geq 1\\ y \geq 0 \\ x+3y \leq 3 \end{matrix}\right$

Решал так: Записал фунцию Лагранжа:
$L=x^2+3y^2+\lambda_1(x+y-1)+\lambda_2(x+3y-3)$

Условия Куна-Такера:
$L'_x=2x+\lambda_1+\lambda_2 =0$
$L'_y=6y+\lambda_1+3\lambda_2 =0$
$L'_{\lambda_1}=x+y-1 =0$
$L'_{\lambda_2}=x+3y-3=0$

Из двух последних уравнений получаю точку $x_0=0, \;\; y_0=1$

Подставляя их в первые два уравнения нахожу $\lambda_1=3, \;\; \lambda_2-3$

Получается следующая седловая точка функции Лагранжа
$x^*=(0;1;3;-3)$

Проверяю условие седловой точки:
$L(x_0;\lambda_0)=3$
$L(x;\lambda_0)=x^2+3(y-1)^2+3$
$L(x_0;\lambda)=3$

Откуда получается:
$F_{extr}=3$ в точке (0;1)

Вот. вроде так все.

[gris]

Условия заданы неравенствами. Область — треугольник. Функция везде гладкая.
Я бы сделал так: Нашёл особые точки внутри области, хотя очевидно, что их нет.
Нашёл методом Лагранжа экстремумы на каждой стороне треугольника.
Нашёл значения функции в трёх угловых точках. И всё сравнил.

[NeBotan]

Но ответ то верный получен или ошибка в ответе?

[gris]

$F(3,0)=9; F(0.5,0.5)=1$
Так что ответ неверен. Кроме того, Вы должны найти минимум и максимум.
А где условие $y\geqslant 0$?

[NeBotan]

Цитата:

$F(3,0)=9; F(0.5,0.5)=1$

$F'=2-6(1-x)=0$, тогда x=2/3

[Yu_K]

И что это значит?

[NeBotan]

Я не понял, как найдена точка F(0.5;0.5) -?

[gris]

Я привёл примеры точек, в которых значения функции больше и меньше найденного Вами экстремального. То есть в точке $(0,1)$ не достигается ни минимум, ни максимум. Вы же спрашивали, верен ли ответ?
Вообще, по виду функции можно догадаться, что минимум её в заданной области лежит где-то на отрезке $[(0,1),(1,0)]. Точно можно определить с помощью метода Лагранжа именно для этого отрезка с одной лямбдой.
Если вам нужно применять именно метод Куна-Таккера, то применяйте, но корректно.

[marucja]

Условия Куна-Таккера составлены неверно, да к тому же должно быть два ответа на минимум и максимум.

[Cash]

Вы внимательно посмотрите на свои "условия" Куна-Такера. То, что вы находите как экстремум - есть не что иное как точка пересечения прямых, ограничивающих область, вершина треугольника. А сама функция и не при делах.