2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Выразить интеграл через специальные функции
Сообщение23.05.2012, 00:38 
Облазил справочники интегралов - не могу найти нужный мне результат. Помогите, пожалуйста!
Можно ли выразить следующий интеграл через какие-либо (не обязательно одномерные) специальные функции?

$\int_{0}^{+\infty}(1+x^2+y^2+z^2)^{a}(1+x^2+y^2)^{b}(1+x^2)^{c}dx$

 
 
 
 Re: Выразить интеграл через специальные функции
Сообщение23.05.2012, 01:14 
Аватара пользователя
Ограничения на $a, b, c$?

 
 
 
 Re: Выразить интеграл через специальные функции
Сообщение23.05.2012, 10:27 
А при произвольных вещественных $a, b, c$ есть такое выражение?
Конкретно в моей задаче:
$a=-b_{1}$
$b=b_{1}-b_{2}$
$c=b_{2}-b_{3}$
$b_{1}>1/2$
$b_{2}>1$
$b_{3}>3/2$

 
 
 
 Re: Выразить интеграл через специальные функции
Сообщение23.05.2012, 10:36 
Изменяя параметры, подинтегральное выражение можно записать компактнее:
$$
$\int_{0}^{+\infty}(x^2+z^2)^{a}(x^2+y^2)^{b}(1+x^2)^{c}dx$.
$$

 
 
 
 Re: Выразить интеграл через специальные функции
Сообщение23.05.2012, 18:33 
Конечно, в справочниках (Градштейн-Рыжик и Прудников-Брычков-Маричев) искал его в том числе и в таком виде. Но найти ни в каком виде не удалось.

Это выражение можно проинтегрировать сначала по $y$ потом по $x$ - там c точностью до множителя-константы вылезает обобщенная гипергеометрическая функция $_{3}F_{2}$

Можно проинтегрировать сначала по $z$ потом по $x$ - там вылезает $_{2}F_{1}$

В связи с этим может быть при интегрировании по $x$ там появится какой-то двумерный аналог обобщенных гипергеометрических функций? Подскажите, пожалуйста, что это могут быть за функции?

 
 
 
 Re: Выразить интеграл через специальные функции
Сообщение23.05.2012, 18:38 
Аватара пользователя
Так Вам надо на самом деле тройной интеграл посчитать? И Вы просто спрашивали про первый шаг -- интегрирование по $x$?

 
 
 
 Re: Выразить интеграл через специальные функции
Сообщение23.05.2012, 19:54 
Нет. Тройной считается достаточно просто, если интегрировать последовательно по $z, y, x$. Интересует именно интегрирование по $x$.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group