Винеровский процесс

[Gorthad]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Рассмотрим винеровский процесс как функцию двух переменных:

$$w \colon \Omega \times \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$$

соответственно с сигма-алгебрами
$A \times B(\mathbb{R}_+)$ и B($\mathbb{R})$. Доказать, что эта функция измерима относительно данных алгебр.

[Хорхе]

А какое определение винеровского процесса?

[Gorthad]

Процесс - произвольное измеримое отображение $(\Omega,F) \rightarrow (\mathbb{R}[0,+\infty), G)$, где $(\mathbb{R}[0,+\infty), G)$ - множество функций с цилиндрической сигма-алгеброй.
Винеровский процесс:
1) $W(0)=0$
2) Независимость приращений - $W(t_1), W(t_2) - W(t_1), ... , W(t_n)-W(t_{n-1})$ независимы
3) $W(t_2)-W(t_1) \mathtt{\sim} N(0,t_2-t_1)$

[Хорхе]

Без дополнительных предположений вроде сепарабельности или просто потраекторной непрерывности измеримости не будет. Ну или надо пополнить произведение сигма-алгебр. Действительно, без этих предположений можно взять неборелевское множество $X\subset\mathbb R_+$ и на событии нулевой вероятности положить $W(t) = 0$, $t\in X$. Тогда множество $\{(t,\omega): W(t,\omega)=0\}$ не будет измеримым.