Доказать голоморфность функций

[shtudent]

Доказать, что при фиксированной $\varphi$ функция $g(\lambda) := \langle x_{+}^{\lambda}, \varphi \rangle$ голоморфна в области $\mathbb C \setminus \lbrace -1, -2, \cdots \rbrace $ и, вообще говоря, имеет полюсы первого порядка в точках $-1, -2, \cdots$. Найти вычеты в этих точках.

[ewert]

Она очевидно аналитична при $\mathop{\mathrm{Re}}\lambda>-1$, после чего рекуррентные соотношения типа $\lambda\mapsto\lambda+1$, получаемые интегрированием по частям, аналитически продолжают её на всю комплексную полуплоскость, за исключением указанных точек. Здесь всё ровно так же, как в частном случае $\Gamma(\lambda+1)$.

[shtudent]

Я не совсем понял, то что вы написали. Можете пояснить, пожалуйста. Например, что такое $\Gamma$?

[ewert]

Гамма-функция. Т.е., в Ваших обозначениях, $\Gamma(\lambda) := \langle x_{+}^{\lambda-1}, e^{-x} \rangle$. От замены экспоненты на произвольную основную функцию $\varphi(x)$ логика рассуждений ровно никак не изменится, разве что выражение для вычетов станет менее конкретным.

[shtudent]

А почему она аналитична при $\operatorne{Re}\lambda > -1$?

[ewert]

Потому, что в достаточно малой (комплексной) окрестности каждой такой лямбды интеграл сходится абсолютно и равномерно как до, так и после формального дифференцирования по лямбде как комплексной переменной. И, следовательно, такое формальное дифференцирование законно.

[shtudent]

Цитата:

после чего рекуррентные соотношения типа $\lambda\mapsto\lambda+1$, получаемые интегрированием по частям, аналитически продолжают её на всю комплексную полуплоскость, за исключением указанных точек.

Можете объяснить?

[Nimza]

shtudent в сообщении #576534 писал(а):

Можете объяснить?

Подробно расписано в книге Хелгасона (стр. 54 сверху). Там и вычеты найдены.

[ewert]

$g(\lambda)=\int\limits_0^{+\infty}x^{\lambda}\varphi(x)\,dx=\left.\dfrac{x^{\lambda+1}\varphi(x)}{\lambda+1}\right|_{x=0}^{+\infty}-\dfrac{1}{\lambda+1}\int\limits_0^{+\infty}x^{\lambda+1}\varphi'(x)\,dx.$

Откуда функция аналитична в полуплоскости $\mathop{\mathrm{Re}}\lambda>-2$, за исключением точки $\lambda=-1$ (точнее, аналитически продолжима в неё), и эта точка является простым полюсом, вычет в которой равен $-\int\limits_0^{+\infty}x^{0}\varphi'(x)\,dx=\varphi(0)$. И т.д.

[shtudent]

Огромное вам всем спасибо