Найти спектр оператора

[shtudent]

Найти спектр оператора $A: \L^2(\mathabb R) \to \L^2(\mathabb R)$ :
$(Af)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x - t)^2}{2}}f(t)dt$
Является ли этот оператор компактным?

[g______d]

Это оператор типа свертки. Он унитарно эквивалентен оператору умножения $f(\xi)\mapsto \sqrt{2\pi} e^{-\xi^2/2}f(\xi)$ (это получается из преобразования Фурье). Дальше думайте: как устроен спектр оператора умножения на функцию и может ли он быть компактным?

[ewert]

g______d в сообщении #574596 писал(а):

Он унитарно эквивалентен оператору умножения $f(\xi)\mapsto e^{-\xi^2/2}f(\xi)$

Не буквально, хотя дело конечно, именно в этом.

[g______d]

ewert в сообщении #574605 писал(а):

Не буквально, хотя дело конечно, именно в этом.

Да, я уже исправил :)

[shtudent]

Можете объснить этот переход:
Вот у нас есть
$(2\pi)^{1/2}e^{-\frac{x^2}{2}}\widehat{f(x)}$.
Теперь мы должны взять от нее обратное преобразование Фурье, и почему тогда он равен:
$\sqrt{2\pi} e^{-x^2/2}f(x)$ ?

-- 22.05.2012, 14:42 --

А чтобы найти спектр, мне нужно решить уравнение вида:
$(Af)(x) = (2\pi)^{1/2}e^{-\frac{x^2}{2}}\widehat{f(x)} = \lambda f(x) $ ? Или это только для компактных операторов правильно?

[ewert]

shtudent в сообщении #574618 писал(а):

Теперь мы должны взять от нее обратное преобразование Фурье, и почему тогда он равен:

Не нужно брать обратное преобразование. Нужно просто доказать, что преобразование Фурье от свёртки двух произвольных функций (конкретно экспонента тут пока что не при чём) равна произведению преобразований Фурье этих функций, с точностью до того самого множителя в корень из двух пи. Это получится само собой, если в двойном интеграле сделать напрашивающуюся замену типа $x-t=y$.

[shtudent]

Да тем самым я найду преобразование Фурье от оператора? Но тогда как связан спектр оператора, со спектром его свертки?

[ewert]

shtudent в сообщении #574630 писал(а):

Да тем самым я найду преобразование Фурье от оператора?

Преобразований Фурье "от оператора" не бывает. Дело просто в том, что $\Phi C_uf=M_u\Phi f\ (\forall f)$ означает, что $C_u=\Phi^{-1}M_u\Phi$, т.е. что оператор $C_u$ (в нашем случае -- оператор свёртки с функцией $u$) унитарно эквивалентен оператору $M_u$ (оператору умножения на функцию, пропорциональную Фурье-образу $u$).

shtudent в сообщении #574630 писал(а):

Но тогда как связан спектр оператора, со спектром его свертки?

Что вообще происходит со спектром при унитарном преобразовании подобия?...

[shtudent]

При унитарном преобразований спектры операторов сохраняются.

[ewert]

shtudent в сообщении #574645 писал(а):

При унитарном преобразований спектры операторов сохраняются.

Ну и чего ещё желать?

[shtudent]

Спасибо

[shtudent]

Упс. Еще один вопрос. Когда я ищу собственные значения в виде:
$(2\pi)^{1/2}e^{-x^2/2} = \lambda$
Как объяснить, что $\sigma = [0, (2\pi)^{1/2}]$ является непрерывным спектром и что у него нет точечного и остаточного спектра?

[ewert]

shtudent в сообщении #574690 писал(а):

Когда я ищу собственные значения в виде:
$(2\pi)^{1/2}e^{-x^2/2} = \lambda$
Как объяснить, что $\sigma = [0, (2\pi)^{1/2}]$ является непрерывным спектром

Первая фраза противоречит второй. Непрерывный спектр не имеет отношения к собственным числам.

Коль скоро мы свели задачу к оператору умножения на функцию -- вопрос о точечном спектре становится праздным, раз уж эта функция кусочно-монотонна, притом строго. Непрерывность спектра также очевидно обосновывается предъявлением соответствующих последовательностей в виде сужающихся пиков. Ну а остаточного спектра не может быть просто потому, что оператор ограничен и самосопряжён.

[ewert]

Хм, неточно выразился. Не может быть "просто потому, что он самосопряжён, а самосопряжён он потому, что очевидно ограничен и при этом очевидно симметричен".